Решение: Хорда в треугольнике
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP = 30$, а сторона $BC$ в $1{,}2$ раза меньше стороны $AB$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $AB = x$, $AC = y$. Так как из точки $A$ проведены две секущие к окружности, по теореме о секущих:
$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$С учётом условия $AP = 30$ получаем:
$$AK \cdot x = 30y, \qquad AK = \frac{30y}{x}$$Обозначим угол $BAC$ через $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$$BC^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos\alpha$$По теореме косинусов для треугольника $AKP$:
$$KP^2 = AK^2 + AP^2 - 2\cdot AK\cdot AP\cos\alpha$$Подставляя значения $AK = \dfrac{30y}{x}$ и $AP = 30$, получаем:
$$KP^2 = \frac{900}{x^2}\left(x^2+y^2-2xy\cos\alpha\right)=\frac{900}{x^2}BC^2$$Следовательно, $KP = \dfrac{30}{AB}\cdot BC$. По условию $BC$ в $1{,}2$ раза меньше $AB$, поэтому $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{1{,}2}=\dfrac{5}{6}$.
$$KP=30\cdot\frac{5}{6}=25$$Длина отрезка $KP$ равна $25$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют теорему о секущих и записывают $AK \cdot AP = AB \cdot AC$.
Путают, во сколько раз сторона $BC$ меньше стороны $AB$.
Используют теорему косинусов без учёта того, что угол $KAP$ совпадает с углом $BAC$.