Решение: Радиус окружности и касательная
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $36$ и $44$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{6}$.
Решение по шагам
7 шаговРасположим начало координат в точке $A$, а ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда $M=(36,0)$ и $N=(44,0)$.
Середина отрезка $MN$ имеет абсциссу $40$, поэтому центр окружности имеет координаты $O=(40,y)$. Радиус окружности равен $R=\sqrt{(40-36)^2+y^2}=\sqrt{16+y^2}$.
Из условия $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$ получаем $\sin\angle BAC=\dfrac{5}{6}$. Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ должно быть равно радиусу окружности:
$$\left|40\cdot\frac{5}{6}-y\cdot\frac{\sqrt{11}}{6}\right|=\sqrt{16+y^2}$$После возведения в квадрат и упрощения получаем квадратное уравнение:
$$25y^2+400\sqrt{11}\,y-30784=0$$Корни этого уравнения:
$$y=-8\sqrt{11}\pm\frac{48\sqrt{21}}{5}$$Корень $y=-8\sqrt{11}-\dfrac{48\sqrt{21}}{5}$ не подходит: точка касания находится не на луче $AB$, а на его продолжении. Поэтому берём $y=-8\sqrt{11}+\dfrac{48\sqrt{21}}{5}$.
Находим радиус окружности:
$$R=\sqrt{16+\left(-8\sqrt{11}+\frac{48\sqrt{21}}{5}\right)^2}=\frac{\sqrt{72384-3840\sqrt{231}}}{5}$$R=\dfrac{\sqrt{72384-3840\sqrt{231}}}{5}\approx21{,}54
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют оба корня квадратного уравнения, не проверяя, лежит ли точка касания именно на луче $AB$.
При вычислении радиуса берут расстояние от центра до точки $M$ с неверной разностью абсцисс.
Путают координаты центра окружности и точки касания.