Решение: Стороны треугольника по медиане
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $40$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $ABC$ — через $\alpha$. Направим ось $Ox$ по биссектрисе $BE$. Тогда стороны $BA$ и $BC$ образуют с этой осью углы $\alpha$.
$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$Точка $D$ — середина отрезка $BC$, поэтому $D=\left(\frac{a}{2}\cos\alpha,-\frac{a}{2}\sin\alpha\right)$. Так как $AD\perp BE$, горизонтальная координата вектора $\overrightarrow{AD}$ равна нулю.
$$\frac{a}{2}\cos\alpha-c\cos\alpha=0$$Следовательно, $a=2c$. Вертикальная составляющая вектора $\overrightarrow{AD}$ по модулю равна $\left(\frac a2+c\right)\sin\alpha=2c\sin\alpha$. Поскольку $AD=40$, получаем:
$$2c\sin\alpha=40,\qquad c\sin\alpha=20$$Длина биссектрисы из вершины $B$ равна $\dfrac{2ac\cos\alpha}{a+c}$. С учётом $a=2c$ и $BE=40$ имеем:
$$40=\frac{2\cdot2c\cdot c\cos\alpha}{3c}=\frac{4c\cos\alpha}{3},\qquad c\cos\alpha=30$$Из равенств $c\sin\alpha=20$ и $c\cos\alpha=30$ найдём сторону $AB$:
$$c^2=(c\sin\alpha)^2+(c\cos\alpha)^2=20^2+30^2=1300,\qquad c=10\sqrt{13}$$Так как $a=2c$, получаем $BC=20\sqrt{13}$. Для нахождения $AC$ используем теорему косинусов. Угол $ABC=2\alpha$, причём:
$$\cos 2\alpha=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{1}=\frac{30^2-20^2}{1300}=\frac5{13}$$Тогда:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos 2\alpha=1300+5200-2\cdot1300\cdot\frac5{13}=4500$$Следовательно, $AC=30\sqrt5$.
AB=10\sqrt{13},\quad BC=20\sqrt{13},\quad AC=30\sqrt5.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать условие $AD\perp BE$: нужно приравнять нулю составляющую вектора $AD$ вдоль биссектрисы.
Забыть, что $D$ — середина $BC$, поэтому координаты точки $D$ вдвое меньше координат точки $C$.
Использовать в теореме косинусов угол $\alpha$ вместо угла $2\alpha$.
Перепутать длину биссектрисы с длиной медианы.