Решите уравнение (x - 3)⁴ - 3(x - 3)² - 10 = 0.

Корни уравнения: x = 3 - √5 и x = 3 + √5.

Решение: Уравнение с четвёртой степенью

ОГЭ · Математика · Задание 20 · Решение уравнений

ПовышеннаяФИПИ93098EРазвёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 4 шага

Условие

Решите уравнение $(x - 3)^4 - 3(x - 3)^2 - 10 = 0$.

Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.

4 шага

Выполним замену переменной: $t = (x - 3)^2$. Тогда исходное уравнение примет вид

$$t^2 - 3t - 10 = 0$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни квадратного уравнения:

$$(t - 5)(t + 2) = 0,\quad t_1 = 5,\quad t_2 = -2$$

Так как $t = (x - 3)^2 \geq 0$, значение $t = -2$ не подходит. Остаётся уравнение

$$(x - 3)^2 = 5$$

Решаем полученное уравнение:

$$x - 3 = \pm\sqrt{5},\quad x_1 = 3 - \sqrt{5},\quad x_2 = 3 + \sqrt{5}$$

Ответ

Корни уравнения: $x = 3 - \sqrt{5}$ и $x = 3 + \sqrt{5}$.

Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.

Не учитывать ограничение $t \geq 0$ после замены переменной.

Потерять один из корней при извлечении квадратного корня.

Ошибиться при разложении трёхчлена $t^2 - 3t - 10$ на множители.

Закрепить приёмВ теме «Решение уравнений» ещё 219 задач — с ответом и таким же разбором.