Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=x^2-7x-5|x-3|+12$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем модуль в зависимости от значения $x$. При $x<3$ имеем $|x-3|=3-x$, поэтому
$$y=x^2-7x-5(3-x)+12=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$$При $x\geqslant 3$ имеем $|x-3|=x-3$, поэтому
$$y=x^2-7x-5(x-3)+12=x^2-12x+27=(x-6)^2-9$$Первая часть — ветвь параболы $y=(x-1)^2-4$ при $x<3$. Её минимум равен $-4$ и достигается при $x=1$. Она пересекает ось $Ox$ в точке $x=-1$, а точка $x=3$ не входит в область определения этой части.
Вторая часть — ветвь параболы $y=(x-6)^2-9$ при $x\geqslant 3$. Её минимум равен $-9$ при $x=6$. При $x=3$ значение равно $0$, также она пересекает ось $Ox$ при $x=9$.
При $m=-4$ первая часть имеет одну общую точку, а вторая — две, так как $-9<-4<0$. Всего получается три точки.
При $m=0$ первая часть имеет одну общую точку $(-1;0)$, а вторая — две точки $(3;0)$ и $(9;0)$. Всего также получается три точки.
Для остальных значений $m$ число общих точек не равно трём: при $-4<m<0$ их четыре, при $-9<m<-4$ — две, а в остальных случаях — не более двух.
$m\in\{-4;0\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают модуль при $x<3$.
Учитывают точку $x=3$ в первой части параболы.
Забывают, что при $m=0$ правая часть имеет две точки пересечения: при $x=3$ и $x=9$.
Считают только одну из двух частей графика.