Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+7,\quad x\ge -4,\\x+10,\quad x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:
$$y=x^2+6x+7=(x+3)^2-2$$Парабола имеет вершину $(-3,-2)$ и ветви, направленные вверх. На заданной части области $x\ge -4$ она начинается в точке $(-4,-1)$, так как $(-4)^2+6\cdot(-4)+7=-1$.
Вторая часть является лучом прямой $y=x+10$ при $x<-4$. При $x\to -4$ значение $y$ стремится к $6$, но точка $(-4,6)$ не принадлежит этой части. Поэтому её значения образуют промежуток $(-\infty,6)$.
Горизонтальная прямая $y=m$ пересекает прямую $y=x+10$ ровно в одной точке при $m<6$: координата точки пересечения по оси $x$ равна $x=m-10$, и условие $x<-4$ эквивалентно $m<6$.
С параболой на луче $x\ge -4$ прямая $y=m$ имеет ровно одну общую точку при $m=-2$ или при $m>-1$. При $-2<m\le -1$ она имеет две общие точки, а при $m<-2$ не имеет общих точек.
При $m=-2$ горизонтальная прямая пересекает параболу в её вершине и прямую $y=x+10$ в точке с абсциссой $x=-12$. Итого получается ровно две общие точки.
Во всех остальных случаях число общих точек отличается от двух: при $m<-2$ есть только пересечение с лучом, при $-2<m<6$ — три пересечения, а при $m\ge 6$ — не более одного пересечения.
$m=-2$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $(-4,6)$ как принадлежащую прямой части графика, хотя условие этой части — $x<-4$.
Забывать, что область определения параболы ограничена условием $x\ge -4$.
Считать только пересечения с параболой и не учитывать пересечение горизонтальной прямой с линейной частью графика.