Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=|x|\cdot(x-1)-6x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant0$ — $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x^2-5x, & x<0,\\ x^2-7x, & x\geqslant0.\end{cases}$$График на промежутке $x<0$ — левая часть параболы $y=-x^2-5x$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-5}{2(-1)}=-\dfrac{5}{2}$.
$$y\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2-5\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{25}{4}$$На промежутке $x\geqslant0$ получаем правую часть параболы $y=x^2-7x$. Её вершина имеет координаты $\left(\dfrac{7}{2},-\dfrac{49}{4}\right)$.
$$y\left(\dfrac{7}{2}\right)=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-7\cdot\dfrac{7}{2}=-\dfrac{49}{4}$$Для левой ветви число пересечений с прямой $y=m$ равно двум при $0<m<\dfrac{25}{4}$, одному при $m\leqslant0$ или $m=\dfrac{25}{4}$, и нулю при $m>\dfrac{25}{4}$, с учётом области $x<0$.
$$m=\dfrac{25}{4}\text{ — касание в вершине}$$Для правой ветви число пересечений равно двум при $-\dfrac{49}{4}<m<0$, одному при $m=-\dfrac{49}{4}$ или $m>0$, и нулю при $m<-\dfrac{49}{4}$.
$$m=-\dfrac{49}{4}\text{ — касание в вершине}$$Суммарно ровно две общие точки возникают только в случаях касания одной из парабол: при $m=-\dfrac{49}{4}$ и при $m=\dfrac{25}{4}$.
$$m\in\left\{-\dfrac{49}{4};\dfrac{25}{4}\right\}$$$m=-\dfrac{49}{4}$ или $m=\dfrac{25}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать разные формулы функции при $x<0$ и $x\geqslant0$.
Ошибочно считать точку $x=0$ принадлежащей левой ветви.
Забыть, что ровно две общие точки возникают при касании горизонтальной прямой с одной из парабол.
Неверно вычислить координаты вершин парабол.