Решение: Расстояние между хордами
Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$O_1O_2=45+55=100$$Пусть угол между общей касательной и линией центров равен $\alpha$. Перпендикулярные расстояния от центров до этой касательной равны радиусам окружностей, поэтому разность этих расстояний равна $55-45=10$.
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $O_1O_2$ имеем:
$$\sin\alpha=\frac{55-45}{100}=\frac{1}{10}$$Точки $A$ и $B$ являются точками касания двух общих касательных с первой окружностью. Поэтому прямая $AB$ перпендикулярна биссектрисе угла между этими касательными. Аналогично прямая $CD$ перпендикулярна той же биссектрисе, значит $AB\parallel CD$.
Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно разности соответствующих проекций радиусов на направление, перпендикулярное этим прямым:
$$d=(55-45)\cos\alpha=10\cos\alpha$$Из равенства $\sin\alpha=\frac{1}{10}$ получаем:
$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{100}}=\frac{\sqrt{99}}{10}$$Следовательно, искомое расстояние равно:
$$d=10\cdot\frac{\sqrt{99}}{10}=\sqrt{99}$$$\sqrt{99}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Вместо разности радиусов $55-45$ используют их сумму.
Путают расстояние между центрами окружностей с расстоянием между прямыми $AB$ и $CD$.
Не доказывают, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.
Ошибочно принимают расстояние между прямыми за $10\sin\alpha$ вместо $10\cos\alpha$.