Решение: Площадь параллелограмма
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 2$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 8.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим через $\alpha$ половину угла $A$ параллелограмма. Тогда угол $A$ равен $2\alpha$, а высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB$, равна
$$h = AD\sin 2\alpha = 2\sin 2\alpha$$Пусть $H$ — основание перпендикуляра из точки $K$ на сторону $AB$. По условию $KH=8$. Обозначим $AB=b$. Так как $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, горизонтальная координата точки $K$ относительно вершины $A$ равна $8\cot\alpha$.
Рассмотрим биссектрису угла $B$. В треугольнике, образованном этой биссектрисой, перпендикуляром $KH$ и стороной $AB$, горизонтальное расстояние от точки $B$ до проекции точки $K$ равно $8\tan\alpha$. Поэтому
$$b = 8\cot\alpha + 8\tan\alpha$$Преобразуем полученное выражение:
$$b=8\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)=\frac{8}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{16}{\sin 2\alpha}$$Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
$$S=AB\cdot h=\frac{16}{\sin 2\alpha}\cdot 2\sin 2\alpha=32$$Площадь параллелограмма равна 32.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают угол параллелограмма $2\alpha$ с половиной угла $\alpha$.
Используют длину $BC=2$ как высоту параллелограмма.
Забывают, что расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 8 и является вертикальной составляющей расстояний до биссектрис.
Неверно складывают горизонтальные отрезки при нахождении длины $AB$.