Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 4, & x \ge -1, \\ -\dfrac{9}{x}, & x < -1, \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Решение по шагам
5 шаговПервую часть функции преобразуем: $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Это правая часть параболы с вершиной в точке $(2, 0)$, построенная при $x \ge -1$. В граничной точке получаем $y = (-1 - 2)^2 = 9$, поэтому точка $(-1, 9)$ принадлежит графику.
$$y = (x - 2)^2,\quad x \ge -1$$Вторая часть $y = -\dfrac{9}{x}$ при $x < -1$ задаёт левую ветвь гиперболы в третьей? При $x < -1$ значение $x$ отрицательно, поэтому $y > 0$. При $x \to -\infty$ значение $y \to 0^+$, а при $x \to -1-$ значение $y \to 9^+$. Точка $(-1, 9)$ для этой части не включается.
$$0 < y < 9 \text{?}$$Уточним диапазон значений гиперболы: при $x < -1$ имеем $-9/x < 9$, а также $-9/x > 0$. Следовательно, гипербола принимает значения $0 < y < 9$ и при каждом таком $y$ даёт одну точку.
$$0 < y < 9$$Для горизонтальной прямой $y = m$ на параболе уравнение пересечения имеет вид $(x - 2)^2 = m$. При $m = 0$ получаем одну точку; при $0 < m \le 9$ — две точки, поскольку обе координаты $x = 2 \pm \sqrt{m}$ удовлетворяют условию $x \ge -1$; при $m > 9$ — одну точку.
$$x = 2 \pm \sqrt{m}$$При $0 < m < 9$ гипербола добавляет к двум точкам параболы ещё одну точку, поэтому всего получается три точки. При $m = 9$ гипербола точек не даёт, а парабола даёт две точки. При $m = 0$ есть одна точка на параболе, а при $m > 9$ — одна точка на параболе.
Прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки при $m = 0$ или $m \ge 9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают точку $(-1, 9)$ в ветвь гиперболы, хотя для неё задано условие $x < -1$.
Считают, что при $0 < m < 9$ имеется две общие точки, не учитывая пересечение с гиперболой.
Забывают, что для параболы при $m = 9$ обе точки имеют допустимые абсциссы $x = -1$ и $x = 5$.