Решение: Хорда окружности в треугольнике
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK$, если $BH = 13$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, по теореме Фалеса углы $BPH$ и $BKH$ являются прямыми.
$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$Поскольку $P \in AB$, $K \in CB$, а $BH \perp AC$, имеем $\angle PBH = \angle CBH$. Следовательно, прямоугольные треугольники $BPH$ и $BKH$ подобны.
Из подобия следует равенство соответствующих отрезков $PH = BK$. Введём координаты: пусть $B=(0,0)$, $H=(x,y)$, где $P=(x,0)$ и $K=(0,y)$. Тогда $PK$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $x$ и $y$, а $BH$ — гипотенузой прямоугольного треугольника с теми же катетами.
$$PK^2=x^2+y^2=BH^2$$Следовательно, длины отрезков $PK$ и $BH$ равны.
Подставляем значение $BH=13$.
13
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют теорему Фалеса для углов, опирающихся на диаметр.
Путают точки $P$ и $K$ с основаниями катетов исходного треугольника.
Записывают равенство $PK=BH$ без обоснования.