Решение: Расстояние между хордами
Окружности радиусов $22$ и $99$ касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$O_1O_2=22+99=121$$Радиусы, проведённые в точки касания с одной и той же общей касательной, перпендикулярны этой касательной. Поэтому прямая $AB$, соединяющая точки касания первой окружности с двумя общими касательными, перпендикулярна каждой из них. Аналогично, $CD$ также перпендикулярна общим касательным. Следовательно, $AB\parallel CD$.
Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно проекции отрезка $O_1O_2$ на направление общей касательной. Разность радиусов окружностей равна перпендикулярной составляющей отрезка $O_1O_2$:
$$99-22=77$$Получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $121$, один катет равен $77$, а другой катет является искомым расстоянием $h$:
$$h^2+77^2=121^2$$Вычислим расстояние:
$$h=\sqrt{121^2-77^2}=\sqrt{14641-5929}=\sqrt{8712}=66\sqrt{2}$$$66\sqrt{2}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность радиусов как искомое расстояние.
Считают, что расстояние между центрами равно разности радиусов, хотя окружности касаются внешним образом.
Не обосновывают параллельность прямых $AB$ и $CD$.