Решение: Расстояние до основания трапеции
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
9 шаговОбозначим основания равнобедренной трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону через $c$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны:
$$a+b=2c$$Из условия о периметре получаем:
$$a+b+2c=160$$Следовательно, $a+b=80$, а $2c=80$, поэтому $c=40$.
Используем формулу площади трапеции:
$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad 1280=\frac{80}{2}\cdot h$$Высота трапеции равна:
$$h=32$$Опустим высоты из концов меньшего основания. В получившемся прямоугольном треугольнике горизонтальная проекция боковой стороны равна половине разности оснований. Поэтому:
$$\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+h^2=c^2$$Подставляя найденные значения, получаем:
$$\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+32^2=40^2,\qquad \frac{a-b}{2}=24$$Значит, $a-b=48$. Вместе с равенством $a+b=80$ это даёт:
$$a=64,\qquad b=16$$Точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ в отношении оснований. Поэтому расстояние от этой точки до меньшего основания равно:
$$x=h\cdot\frac{b}{a+b}=32\cdot\frac{16}{80}=\frac{32}{5}=6{,}4$$Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно $6{,}4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применять свойство описанного четырёхугольника: сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Забывать, что в равнобедренной трапеции половина разности оснований является горизонтальной проекцией боковой стороны.
Использовать отношение оснований в неправильном порядке при нахождении расстояния до меньшего основания.