Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=x^2-11x-2|x-5|+30$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем модуль по определению.
$$|x-5|=\begin{cases}5-x,&x<5,\\x-5,&x\geqslant5.\end{cases}$$При $x<5$ функция принимает вид:
$$y=x^2-11x-2(5-x)+30=x^2-9x+20=\left(x-\frac92\right)^2-\frac14$$При $x\geqslant5$ функция принимает вид:
$$y=x^2-11x-2(x-5)+30=x^2-13x+40=\left(x-\frac{13}{2}\right)^2-\frac94$$График состоит из части параболы с вершиной $\left(\frac92,-\frac14\right)$ при $x<5$ и части параболы с вершиной $\left(\frac{13}{2},-\frac94\right)$ при $x\geqslant5$. Обе части соединяются в точке $(5,0)$.
Для левой части при $-\frac14<m<0$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках, а при $m=-\frac14$ — в одной точке. При $m=0$ левая часть даёт точки с абсциссами $x=4$ и $x=5$.
Для правой части при $-\frac94<m<0$ прямая пересекает параболу в двух точках, а при $m=0$ — в точках с абсциссами $x=5$ и $x=8$. Точка $(5,0)$ является общей для обеих частей и считается один раз.
При $m=-\frac14$ получаются две точки на правой части и одна точка на левой, всего три. При $m=0$ получаются точки $(4,0)$, $(5,0)$ и $(8,0)$, также всего три.
Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $m=-\frac14$ или $m=0$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения каждой части параболы.
Считать точку $(5,0)$ дважды.
Принимать вершину правой части за точку с абсциссой $\frac92$ вместо $\frac{13}{2}$.
Не проверять отдельно граничное значение $m=0$.