Решение: Площадь трапеции по биссектрисе
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $40$ и $41$, а основание $BC$ равно $16$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
5 шаговПусть $M$ — середина стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Обозначим горизонтальную проекцию стороны $AB$ через $x$, а большее основание $AD$ через $a$.
$$AB^2=x^2+h^2=40^2$$Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $ADC$, поэтому её расстояния до прямых $AD$ и $DC$ равны. Расстояние от $M$ до $AD$ равно $\dfrac h2$. После вычисления расстояния от $M$ до $DC$ получаем:
$$\frac{h(a+16)}{2\cdot 41}=\frac h2$$Сокращая $\dfrac h2$, находим длину основания $AD$:
$$a+16=41,\qquad a=25$$Разность оснований равна $25-16=9$. Из разности горизонтальных проекций боковых сторон следует, что горизонтальная проекция стороны $AB$ равна $0$. Поэтому высота трапеции равна стороне $AB$:
$$h=40$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженному на высоту:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{25+16}{2}\cdot40=820$$Площадь трапеции равна $820$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить, какие стороны являются основаниями трапеции.
Забыть, что точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.
Использовать разность оснований без проверки горизонтальных проекций боковых сторон.
Вычислить площадь без нахождения высоты.