Система двух линз
Система двух линз рассматривается как последовательное прохождение света через две оптические системы: первая линза создаёт промежуточное изображение, а оно становится предметом для второй линзы. Главный приём решения — сначала найти изображение в первой линзе, затем использовать его как предмет во второй, не смешивая расстояния и знаки.
Основная идея метода
Две тонкие линзы расположены на одной главной оптической оси и имеют общий порядок прохождения света: сначала лучи проходят линзу \(L_1\), затем линзу \(L_2\). Расстояние между линзами обозначим \(d\). Для каждой линзы отдельно применяют формулу тонкой линзы. Если нужно повторить базовые правила, полезно сначала прочитать страницу о последовательном прохождении света через линзы и материал о задачах на формулу тонкой линзы.
Алгоритм решения таков: определить фокусное расстояние каждой линзы; найти положение промежуточного изображения после \(L_1\); определить расстояние от этого изображения до \(L_2\); рассмотреть промежуточное изображение как предмет для второй линзы; найти окончательное изображение и его увеличение. Схему лучей используют как проверку расчёта, а не как замену формулам.
Пән — точка или тело, от которого исходят лучи, падающие на линзу. Изображение — точка, в которой после линзы пересекаются сами лучи или их продолжения. Если пересекаются реальные лучи, изображение действительное; если пересекаются продолжения лучей, изображение мнимое.
Для каждой линзы отдельно используют связь между фокусным расстоянием \(F\), расстоянием от линзы до пәннің \(a\) и расстоянием от линзы до изображения \(b\): \(\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\). Для собирающей линзы \(F>0\), для рассеивающей \(F<0\). Знаки расстояний должны соответствовать выбранному соглашению; нельзя подставлять модули без проверки характера изображения.
Знаки и положение промежуточного изображения
Удобно направить ось \(x\) по ходу света: первая линза находится в точке \(x=0\), вторая — в точке \(x=d\). Сначала находят координату изображения первой линзы \(x_1=b_1\). Затем положение окончательного изображения находят относительно второй линзы: \(x_2=d+b_2\).
Если \(b_1>0\), изображение после первой линзы находится справа от \(L_1\), то есть по ходу света. Для второй линзы это обычно действительный пән: лучи действительно приходят к нему, если он расположен между линзами и далее идут к \(L_2\). Если \(b_1<0\), изображение первой линзы находится слева от \(L_1\) и является мнимым для первой линзы. Однако для второй линзы важно не само слово «мнимое», а положение лучей перед \(L_2\): сходятся они к точке или расходятся от неё.
Действительное изображение образуется пересечением реальных лучей. Его можно получить на экране. Мнимое изображение образуется пересечением продолжений лучей; поставить экран в этой точке и получить изображение нельзя. Промежуточное изображение первой линзы может быть действительным или мнимым, но для второй линзы оно в любом случае выступает как новый предмет — действительный или мнимый.
Формула \(a_2=d-b_1\) подходит в распространённой ситуации, когда действительное промежуточное изображение находится между линзами: \(0<b_1<d\). Если точка изображения находится за второй линзой или слева от первой, расстояние \(a_2\) нужно определить со знаками, а не механически применять эту жазба.
Первая линза образовала действительное изображение между линзами. Что оно представляет собой для второй линзы?
Полный алгоритм расчёта
- Переведите все расстояния и фокусные расстояния в СИ. Если дана оптическая сила, используйте \(F=\frac{1}{D}\), где \(D\) выражена в диоптриях.
- Для первой линзы определите \(a_1\) и подставьте их в формулу тонкой линзы. Получите \(b_1\).
- По знаку и величине \(b_1\) установите положение и характер промежуточного изображения.
- Найдите предметное расстояние для второй линзы. Для изображения между линзами обычно \(a_2=d-b_1\).
- Решите уравнение второй линзы и получите \(b_2\).
- Определите окончательную координату изображения относительно первой линзы: \(x=d+b_2\).
- При необходимости найдите общее линейное увеличение как произведение увеличений двух линз.
Полное линейное увеличение системы равно произведению увеличений отдельных линз. Знак \(\Gamma\) показывает ориентацию изображения: \(\Gamma>0\) — изображение ориентировано так же, как пән, \(\Gamma<0\) — перевёрнуто. Модуль \(|\Gamma|\) показывает, во сколько раз изменился размер.
Разобранный пример
Две собирающие линзы имеют фокусные расстояния \(F_1=10\) см и \(F_2=20\) см. Расстояние между ними \(d=50\) см. Пән расположен на расстоянии \(a_1=30\) см слева от первой линзы. Найдём положение окончательного изображения и его характер.
Показать Шешім Шешім
Окончательное изображение находится на расстоянии примерно \(46{,}7\) см справа от второй линзы, или \(96{,}7\) см от первой. Оно действительное, потому что \(b_2>0\), и прямое относительно исходного пәннің, поскольку два переворота дают положительное общее увеличение. Размер изображения примерно в \(0{,}67\) раза меньше размера пәннің.
Особые случаи и проверка ответа
Если промежуточное изображение совпало с плоскостью второй линзы, обычная модель тонкой линзы требует осторожности: лучи падают на вторую линзу не из конечной точки предмета. Если промежуточное изображение оказалось за второй линзой, для второй линзы предмет будет мнимым. Тогда знак предметного расстояния меняется согласно выбранному соглашению, и вторая линза может дать действительное или мнимое окончательное изображение.
Проверяйте ответ тремя способами: по знаку \(b_2\) определите действительность изображения; по положению относительно фокуса оцените порядок величины; по схеме хода лучей проверьте направление и ориентацию изображения. При использовании оптических сил удобно сначала найти \(F_1\) и \(F_2\), а затем применять формулу тонкой линзы.
1. Используют расстояние от исходного предмета до второй линзы вместо расстояния от промежуточного изображения до второй. 2. Для второй линзы снова берут \(a_1\), хотя предметом стала другая точка. 3. Путают координату изображения \(x\) с расстоянием \(b_2\) от второй линзы. 4. Называют изображение действительным только потому, что оно находится справа: решающим является знак и пересечение реальных лучей. 5. Складывают увеличения вместо их перемножения. 6. Не переводят сантиметры в метры при работе с оптической силой.
Нарисуйте главную ось и отметьте линзы в точках \(0\) и \(d\). Любую найденную координату подписывайте относительно конкретной линзы. Такая схема сразу показывает, где находится предмет для второй линзы и нельзя ли случайно использовать расстояние до первой линзы.
Связь с другими темами
Система двух линз — частный случай оптической системы. Если линзы расположены вплотную, можно рассматривать их общую оптическую силу; это разобрано на странице об оптической силе системы линз. Более подробное построение лучей приведено в материале об изображении в системе двух линз. При изучении микроскопа этот метод используется снова: объектив создаёт промежуточное изображение, а окуляр рассматривает его как предмет. Полезно также повторить линейное увеличение линзы и знаки величин в формуле тонкой линзы.
Итоговая самопроверка
Главное
- Решайте задачу последовательно: первая линза → промежуточное изображение → вторая линза → окончательное изображение.
- Для второй линзы промежуточное изображение является новым предметом; расстояние до него нужно определить относительно второй линзы.
- Знак \(b\) показывает характер изображения: действительное изображение образуется реальными лучами, мнимое — продолжениями лучей.
- Координата окончательного изображения от первой линзы при выбранной оси равна \(x=d+b_2\).
- Общее линейное увеличение равно произведению увеличений отдельных линз: \(\Gamma=\Gamma_1\Gamma_2\).