Задачи на формулу тонкой линзы
Задачи на тонкую линзу решаются по одному алгоритму: определить известные величины, выбрать знаки, записать формулу тонкой линзы, найти неизвестное расстояние или фокусное расстояние, а затем при необходимости вычислить увеличение и описать изображение. Перед решением полезно повторить линейное увеличение линзы и правила знаков в формуле тонкой линзы.
1. Величины и основные формулы
В стандартной задаче рассматривают тонкую линзу, то есть линзу, толщиной которой можно пренебречь по сравнению с расстояниями до предмета и изображения. Предмет обычно обозначают буквой \(AB\), изображение — \(A_1B_1\). Расстояние от предмета до линзы обозначают \(d\), расстояние от линзы до изображения — \(f\), фокусное расстояние — \(F\). В школьных задачах часто используют положительные геометрические расстояния: \(d>0\), \(f>0\), а знак изображения определяют отдельно по его характеру.
Тонкая линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями, толщиной которого в расчётах пренебрегают. Собирающая линза имеет положительное фокусное расстояние, рассеивающая — отрицательное.
Это формула тонкой линзы. Она связывает фокусное расстояние \(F\), расстояние от предмета до линзы \(d\) и расстояние от линзы до изображения \(f\). Если нужно найти одну величину, формулу преобразуют заранее.
Оптическая сила показывает, насколько сильно линза преломляет свет, и измеряется в диоптриях. Для фокусного расстояния, выраженного в метрах, используют формулу:
В формулах расстояния должны быть выражены в одной системе единиц. Для оптической силы фокусное расстояние обязательно переводят в метры: \(20\,\text{см}=0{,}20\,\text{м}\), поэтому \(D=1/0{,}20=5\,\text{дптр}\).
2. Алгоритм решения расчётной задачи
- Выписать условие: известные \(d\), \(f\), \(F\), \(D\) или размеры предмета и изображения.
- Перевести все расстояния в метры, если требуется найти оптическую силу, либо привести их к одной единице.
- Определить тип линзы и характер изображения. Для собирающей линзы обычно \(F>0\); для рассеивающей линзы \(F<0\).
- Выбрать нужную формулу: формулу тонкой линзы для расстояний, формулу увеличения для размеров, \(D=1/F\) для оптической силы.
- Подставить числа с единицами и выполнить вычисления.
- Записать ответ с единицей измерения и проверить его физический смысл.
Если в условии даны высоты предмета \(H\) и изображения \(h\), сначала находят увеличение. Модуль увеличения показывает отношение размеров, а знак может указывать на перевёрнутость изображения.
При использовании направленных величин иногда пишут \(Γ=-f/d\). В большинстве школьных расчётных задач достаточно использовать модуль: \(|\Gamma|=h/H=f/d\), а характер изображения определить отдельно. Подробные случаи разобраны на странице линейное увеличение линзы.
Если собирающая линза даёт действительное изображение, то предмет и изображение находятся по разные стороны линзы, а в геометрической записи расстояния берут положительными. Если \(f>d\), то \(\Gamma=f/d>1\): изображение увеличенное. Если \(f<d\), изображение уменьшенное.
Предмет находится на расстоянии \(d=30\,\text{см}\) от собирающей линзы, изображение — на расстоянии \(f=60\,\text{см}\). Чему равно увеличение по модулю?
3. Как определить изображение и выбрать знаки
В задачах важно отличать действительное изображение от мнимого. Действительное изображение можно получить на экране; оно обычно перевёрнуто. Мнимое изображение на экране получить нельзя; оно обычно прямое. Эти понятия подробно объясняются на странице действительное и мнимое изображение.
| Ситуация для собирающей линзы | Изображение | Увеличение |
|---|---|---|
| Предмет дальше двойного фокуса: \(d>2F\) | действительное, перевёрнутое, уменьшенное | \(|\Gamma|<1\) |
| Предмет в двойном фокусе: \(d=2F\) | действительное, перевёрнутое, равное предмету | \(|\Gamma|=1\) |
| Предмет между \(F\) и \(2F\) | действительное, перевёрнутое, увеличенное | \(|\Gamma|>1\) |
| Предмет между линзой и фокусом: \(d<F\) | мнимое, прямое, увеличенное | \(|\Gamma|>1\) |
Для рассеивающей линзы изображение предмета обычно мнимое, прямое и уменьшенное. В алгебраической записи это отражается отрицательным фокусным расстоянием или отрицательным расстоянием до мнимого изображения — в зависимости от выбранного соглашения о знаках. Поэтому перед вычислением нужно свериться со страницей знаки величин в формуле тонкой линзы.
4. Разобранный пример
Собирающая линза даёт действительное изображение предмета на расстоянии \(f=60\,\text{см}\). Расстояние от предмета до линзы \(d=30\,\text{см}\). Найдите фокусное расстояние линзы и её оптическую силу. Определите увеличение.
Ответ: \(F=0{,}20\,\text{м}=20\,\text{см}\), \(D=5\,\text{дптр}\), \(|\Gamma|=2\). Изображение в два раза больше предмета. Так как оно действительное, оно перевёрнутое.
1. Подставлять сантиметры в формулу \(D=1/F\) без перевода в метры. 2. Путать \(d\) и \(f\): \(d\) относится к предмету, \(f\) — к изображению. 3. Использовать \(d+f\) вместо отношения \(f/d\) при нахождении увеличения. 4. Забывать единицы в ответе. 5. Называть изображение действительным только потому, что оно увеличенное: увеличенное изображение может быть и мнимым.
5. Задачи с неизвестным расстоянием
Если известны \(F\) и одно из расстояний, неизвестное расстояние находят преобразованием формулы. Например, при известном \(F\) и \(d\):
Перед вычислением полезно проверить знаменатель. Если \(d=F\), предмет находится в фокусе собирающей линзы: лучи после линзы идут параллельно, поэтому изображение оказывается «на бесконечности», а обычное конечное значение \(f\) не получается. При работе со сложными схемами полезны страницы оптическая система и последовательное прохождение света через линзы.
Сначала решайте задачу для расстояний по формуле \(1/F=1/d+1/f\), затем отдельно находите увеличение по формуле \(|\Gamma|=f/d\). Не смешивайте эти два этапа.
Проверь себя
Краткий итог
- Основная формула: \(1/F=1/d+1/f\).
- Для оптической силы используют \(D=1/F\), причём \(F\) берут в метрах.
- Линейное увеличение по модулю: \(|\Gamma|=f/d=h/H\).
- Алгоритм: выписать данные, выбрать знаки, привести единицы, записать формулу, вычислить и проверить смысл ответа.
- При описании изображения учитывают его действительность, ориентацию и размер.