ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 16, 18 · ОГЭ

Формулы площади треугольника

Основные способы найти площадь треугольника: через основание и высоту, две стороны и угол, радиусы и полупериметр
5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Площадь треугольника можно находить разными формулами — выбор зависит от известных величин. В этой статье собраны способы вычисления площади через основание и высоту, две стороны и угол между ними, радиусы вписанной и описанной окружностей, а также полупериметр.

Основание и высота

Основанием треугольника можно считать любую его сторону. Высота, проведённая к этой стороне, — перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на прямую, содержащую основание. Поэтому для одного и того же треугольника можно использовать три пары «сторона — соответствующая высота».

D
Определение

Высота треугольника — отрезок перпендикуляра, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Обозначают высоту обычно буквой \(h\), а соответствующее основание — буквой \(a\), \(b\) или \(c\).

\[S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\]
T
Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию.

Если треугольник прямоугольный, его катеты перпендикулярны, поэтому один катет можно взять за основание, а другой — за высоту:

\[S=\frac{1}{2}ab\]

где \(a\) и \(b\) — катеты. Важно не подставлять в формулу произвольную высоту: она должна быть проведена именно к выбранному основанию.

ABCh_cc
В треугольнике ABC высота \(h_c\) проведена к основанию \(c=AB\).

Две стороны и угол между ними

Если известны две стороны и угол между ними, высоту можно выразить через синус этого угла. Пусть стороны \(a\) и \(b\) заключают угол \(\gamma\). Тогда высота к стороне \(a\) равна \(b\sin\gamma\).

\[S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\]
T
Площадь по двум сторонам и углу

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Угол должен быть заключён именно между данными сторонами.

Аналогично можно записать три равенства:

\[S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B\]

Этот способ особенно удобен, когда высота не дана напрямую. Если угол тупой, синус всё равно положителен, поэтому формула работает без изменений. Для вычислений часто нужны свойства углов и значения синуса из школьной таблицы.

Проверь себя

Стороны треугольника равны \(6\) и \(8\), а угол между ними равен \(30^\circ\). Какая формула подходит для площади?

Радиусы и полупериметр

Площадь связана с радиусом вписанной окружности и полупериметром. Напомним: полупериметр треугольника — это половина его периметра. Если стороны равны \(a\), \(b\), \(c\), то:

\[p=\frac{a+b+c}{2}\]

Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника. Разбивая треугольник на три маленьких треугольника с общей высотой \(r\), получаем площадь как сумму их площадей.

\[S=pr\]
T
Площадь через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра \(p\) на радиус вписанной окружности \(r\).

Если известны три стороны, сначала находят полупериметр, а затем применяют формулу Герона. Подробнее она рассматривается на странице формула Герона.

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Для описанной окружности используется радиус \(R\). Из формулы площади через синус и теоремы синусов следует:

\[S=\frac{abc}{4R}\]
T
Площадь через радиус описанной окружности

Если \(R\) — радиус окружности, описанной около треугольника, то \(S=\frac{abc}{4R}\).

Формула \(S=\frac{abc}{4R}\) удобна, когда известны все три стороны и радиус описанной окружности. Если радиус не дан, но известны стороны и углы, может понадобиться теорема синусов.

Разобранный пример

№
Пример: площадь по двум сторонам и углу

В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB=10\), \(AC=6\), угол \(A=30^\circ\). Найдём площадь.

1
Угол \(A\) заключён между сторонами \(AB\) и \(AC\), поэтому применяем формулу площади по двум сторонам и углу между ними.
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\)
2
Подставляем известные значения.
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\cdot\sin30^\circ\)
3
Используем значение \(\sin30^\circ=\frac12\).
\(\displaystyle S=30\cdot\frac12=15\)
4
Записываем ответ с единицами площади.
\(\displaystyle \boxed{S=15\text{ см}^2}\)

Если в условии вместо угла даны три стороны, удобно использовать формулу Герона. Например, при \(a=5\), \(b=6\), \(c=7\) сначала находим \(p=\frac{5+6+7}{2}=9\), затем \(S=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt6\).

!
Частые ошибки

1. Забывают множитель \(\frac12\) в формулах площади. 2. Берут синус не угла между известными сторонами, а другого угла. 3. Путают радиусы: в формуле \(S=pr\) используется радиус вписанной окружности, а в \(S=\frac{abc}{4R}\) — описанной. 4. Называют полупериметром сумму сторон: правильно \(p=\frac{a+b+c}{2}\). 5. Не указывают квадратные единицы: площадь измеряется в \(\text{см}^2\), \(\text{м}^2\) и т. п.

Как выбрать формулу

Сначала выпишите, что дано. Основание и высота — используйте \(S=\frac12ah\). Две стороны и угол между ними — \(S=\frac12ab\sin\gamma\). Три стороны — формула Герона. Полупериметр и радиус вписанной окружности — \(S=pr\). Три стороны и радиус описанной окружности — \(S=\frac{abc}{4R}\).

Проверка ответа и связь с другими темами

Площадь должна быть положительной. Если известны основание и высота, полезно оценить результат: площадь примерно в два раза меньше произведения этих величин. При использовании синуса проверьте, что значение синуса относится к углу между сторонами. Для задач, где нужно сначала найти неизвестную сторону или угол, могут понадобиться теорема косинусов и методы решения треугольников.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрый тест

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Основание и высота
Какова площадь треугольника с основанием \(12\) и высотой \(5\)?
Главное за минуту

Главное

  • Основная формула: \(S=\frac12ah\), где \(h\) — высота к выбранному основанию.
  • По двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12ab\sin\gamma\).
  • Полупериметр: \(p=\frac{a+b+c}{2}\); через радиус вписанной окружности: \(S=pr\).
  • По трём сторонам используется формула Герона: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).
  • Через радиус описанной окружности: \(S=\frac{abc}{4R}\); всегда записывайте квадратные единицы.