ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 7, 9, 10 · ЕГЭ

Площадь треугольника через радиус окружности

Формулы площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей: вывод, выбор формулы и задачи экзаменационного уровня.
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Площадь треугольника можно находить не только по стороне и высоте, но и через радиус вписанной или описанной окружности. В этой теме собраны основные формулы, их выводы и приёмы выбора формулы в задачах ОГЭ и ЕГЭ.

Обозначения и связь с площадью

Рассмотрим треугольник \(ABC\) со сторонами \(a\), \(b\), \(c\), лежащими напротив углов \(A\), \(B\), \(C\). Его площадь обозначим \(S\), полупериметр — \(p\), радиус вписанной окружности — \(r\), радиус описанной окружности — \(R\).

Перед изучением этой бет полезно повторить площадь треугольника, а также основные свойства вписанной окружности треугольника и описанной окружности треугольника. Все формулы являются частью общей системы формул площади треугольника.

ABCIOrR
Треугольник ABC, его центры I и O, радиусы r и R.
D
Основные понятия

Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника; её центр \(I\) — точка пересечения биссектрис. Описанная окружность проходит через все вершины треугольника; её центр \(O\) — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Площадь через радиус вписанной окружности

Главная формула для радиуса вписанной окружности связывает площадь с полупериметром. Она особенно удобна, когда известны стороны треугольника или их сумма и радиус \(r\).

\[S=pr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r\]
T
Теорема о вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S=pr\).

Почему формула верна? Соединим центр вписанной окружности \(I\) с вершинами треугольника. Получатся три треугольника с основаниями \(a\), \(b\), \(c\). Высота каждого из них равна \(r\), потому что радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен стороне.

1
Площадь треугольника \(ABC\) равна сумме площадей трёх треугольников с общей высотой \(r\).
\(\displaystyle S=S_{IAB}+S_{IBC}+S_{ICA}\)
2
Подставляем формулу площади через основание и высоту.
\(\displaystyle S=\frac12 ar+\frac12 br+\frac12 cr\)
3
Выносим общий множитель и узнаём полупериметр.
\(\displaystyle S=\frac{a+b+c}{2}r=pr\)

Из этой формулы можно находить и другие величины:

\[r=\frac{S}{p},\qquad p=\frac{S}{r}\]
Когда выбирать эту формулу

Если в условии даны три стороны и радиус \(r\), сразу используйте \(S=pr\). Если известны только стороны, сначала найдите полупериметр \(p\), а затем примените формулу Герона из темы о площади треугольника.

Площадь через радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности связан с каждой стороной и противолежащим углом. Из формулы площади по двум сторонам и углу и расширенной теоремы синусов получается формула, в которой участвуют все три стороны.

\[S=\frac{abc}{4R}\]
T
Формула через описанную окружность

Площадь треугольника равна произведению его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности: \(S=\frac{abc}{4R}\).

Вывод можно получить так. По формуле площади через две стороны и угол \(C\) имеем \(S=\frac12 ab\sin C\). По расширенной теореме синусов \(c=2R\sin C\), значит, \(\sin C=\frac{c}{2R}\).

1
Записываем площадь через две стороны и угол между ними.
\(\displaystyle S=\frac12 ab\sin C\)
2
Заменяем синус угла с помощью равенства \(c=2R\sin C\).
\(\displaystyle \sin C=\frac{c}{2R}\)
3
Подставляем выражение для синуса.
\(\displaystyle S=\frac12 ab\cdot\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}\)

Обратные преобразования также часто встречаются в задачах:

\[R=\frac{abc}{4S},\qquad c=\frac{4RS}{ab}\]
Запомнить

Для радиуса вписанной окружности: \(S=pr\). Для радиуса описанной окружности: \(S=\frac{abc}{4R}\). В первой формуле нужен полупериметр, во второй — произведение всех трёх сторон.

Микропроверка

У треугольника стороны \(6\), \(8\), \(10\), а радиус вписанной окружности равен \(2\). Чему равна площадь?

Разобранный пример

№
Найдём радиус описанной окружности

Стороны треугольника равны \(13\), \(14\) и \(15\), а площадь равна \(84\). Найдём радиус описанной окружности.

Показать Шешім Шешім
1
Выбираем формулу, потому что известны три стороны и площадь.
\(\displaystyle S=\frac{abc}{4R}\)
2
Выражаем радиус.
\(\displaystyle R=\frac{abc}{4S}\)
3
Подставляем данные тапсырма.
\(\displaystyle R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}\)
4
Считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем.
\(\displaystyle R=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8{,}125\)

Жауабы: \(R=\frac{65}{8}\).

Проверка разумности ответа: радиус описанной окружности должен быть больше половины наибольшей стороны, то есть больше \(7{,}5\). Полученное значение \(8{,}125\) этому не противоречит.

Как выбрать формулу и не ошибиться

  1. Выпишите все данные и обозначьте стороны одинаково во всех формулах.
  2. Если дан радиус вписанной окружности, ищите полупериметр: \(S=pr\).
  3. Если дан радиус описанной окружности и три стороны, используйте \(S=\frac{abc}{4R}\).
  4. Проверьте единицы измерения: если стороны заданы в сантиметрах, площадь получится в квадратных сантиметрах, а радиус — в сантиметрах.
  5. После вычислений оцените ответ: площадь должна быть положительной, а радиус — иметь размерность длины.
!
Частые ошибки

1. Используют \(a+b+c\) вместо \(p=\frac{a+b+c}{2}\). 2. В формуле через \(R\) забывают множитель \(4\): правильно \(S=\frac{abc}{4R}\). 3. Путают \(r\) и \(R\): малая буква обозначает вписанную окружность, заглавная — описанную. 4. Подставляют в формулу площадь с неправильными единицами, например смешивают сантиметры и метры. 5. Применяют формулу \(S=pr\), когда известен радиус описанной окружности.

i
Полезная дополнительная связь

Для любого треугольника выполняется неравенство \(R\ge 2r\). Равенство достигается только в равностороннем треугольнике. Это не основная формула для вычислений, но она помогает проверить полученные радиусы.

Проверка знаний

Q
Жылдам тест по теме

Quick-test

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Радиус вписанной окружности
Полупериметр треугольника равен \(15\), радиус вписанной окружности — \(4\). Чему равна площадь?
Главное за минуту

Кратко о главном

  • Для радиуса вписанной окружности: \(S=pr\), где \(p=\frac{a+b+c}{2}\).
  • Для радиуса описанной окружности: \(S=\frac{abc}{4R}\).
  • Из формул можно выразить радиус: \(r=\frac{S}{p}\) и \(R=\frac{abc}{4S}\).
  • Перед подстановкой данных определите, какая окружность дана, и проверьте единицы измерения.
  • Для тапсырма, где нужны дополнительные свойства сторон, углов или высот, используйте соседние темы о площади по двум сторонам и углу, нахождении углов по сторонам и длине высоты треугольника.