Преобразование выражений с радикалами
Преобразование выражений с радикалами помогает заменить громоздкую запись более простой, не изменяя её значения. В теме важно правильно работать с подкоренным выражением, учитывать область допустимых значений и не нарушать свойства квадратного корня.
Основные понятия и область допустимых значений
Радикалом называют выражение, содержащее знак корня, например \(\sqrt{18}\) или \(3\sqrt{x-2}\). Число или выражение под знаком корня называется подкоренным выражением. В квадратном корне оно должно быть неотрицательным.
Квадратный корень из неотрицательного числа \(a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Обозначение: \(\sqrt{a}\). Поэтому \(\sqrt{a}\ge 0\) и \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\) при \(a\ge 0\).
Если под корнем стоит выражение с переменной, сначала находят его область допустимых значений (ОДЗ). Например, для \(\sqrt{2x-6}\) необходимо \(2x-6\ge 0\), то есть \(x\ge 3\). При преобразованиях это условие сохраняют.
Для \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\) справедливы свойства \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) и \(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) при \(b>0\). Эти свойства используются для разложения подкоренного выражения и вынесения множителей.
Перед преобразованиями полезно повторить корень из степени, корень из произведения и корень из частного. Если выражение содержит корень нечётной степени, применяются отдельные правила — см. свойства корня нечётной степени.
Вынесение множителя из-под знака корня
Чтобы вынести множитель из-под квадратного корня, подкоренное выражение представляют в виде произведения, один из множителей которого является полным квадратом. Затем используют равенство \(\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b\).
Модуль обязателен: например, \(\sqrt{x^2}=|x|\), а не всегда \(x\). Если заранее известно, что \(x\ge 0\), можно записать \(\sqrt{x^2}=x\). Вынесение множителя часто начинается с разложения числа на произведение полного квадрата и оставшегося множителя.
Упростим \(\sqrt{72}\). Представим \(72=36\cdot2\): \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2\). Значит, \(\sqrt{72}=6\sqrt2\).
- \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3\).
- \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5\).
- \(\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot2}=7\sqrt2\).
- \(\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt2\).
Внесение множителя под знак корня и раскрытие скобок
Если \(a\ge 0\), то множитель можно внести под знак корня по правилу \(a\sqrt b=\sqrt{a^2b}\). При внесении отрицательного множителя сначала учитывают знак: \(-a\sqrt b=-\sqrt{a^2b}\) при \(a\ge0\).
Например, \(3\sqrt5=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}\). Такой приём полезен при сравнении радикалов или приведении их к одинаковому виду. Сложение и вычитание выполняют только у подобных радикалов: подкоренные выражения после упрощения должны совпадать.
Нельзя складывать радикалы только потому, что у них одинаковый знак корня: \(\sqrt2+\sqrt3\) не превращается в \(\sqrt5\). Сначала каждый радикал упрощают, затем собирают подобные слагаемые. Эти действия являются частью упрощения выражений с корнями.
Как упростить выражение \(2\sqrt{12}-\sqrt{27}\)?
Приведение радикалов к удобному виду
Удобный вид обычно означает, что из-под корня вынесены все возможные множители, а в подкоренном выражении не осталось полного квадрата. Например, \(\sqrt{48}=4\sqrt3\), потому что \(48=16\cdot3\), а число \(3\) уже не содержит квадратного множителя больше единицы.
Для числовых радикалов удобно разлагать подкоренное число на простые множители и выделять пары одинаковых множителей. Каждая пара \(p\cdot p=p^2\) превращается в множитель \(p\) перед корнем.
Для числа \(n\) ищите наибольший полный квадрат, на который оно делится: \(n=k^2m\). Тогда \(\sqrt n=k\sqrt m\). Если такого квадрата не видно, разложите \(n\) на простые множители.
Разобранный пример экзаменационного уровня
Упростим выражение \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt8}{\sqrt2}\) и укажем ограничения.
После преобразования выражение равно \(3\). Здесь сначала нужно было упростить числитель, а затем сократить общий ненулевой множитель \(\sqrt2\).
При буквенных выражениях действуем так же, но внимательно следим за знаками. Например, при \(x\ge0\): \(\sqrt{18x^2}=\sqrt{9\cdot2\cdot x^2}=3x\sqrt2\). Без условия \(x\ge0\) ответом будет \(3|x|\sqrt2\).
Частые ошибки
1. Ошибка в знаке: \(\sqrt{x^2}=|x|\), а не всегда \(x\). 2. Неверное сложение: \(\sqrt a+\sqrt b\ne\sqrt{a+b}\). 3. Потеря ОДЗ: для \(\sqrt{x-4}\) обязательно \(x\ge4\). 4. Неполное упрощение: \(\sqrt{72}\) нельзя оставлять, если требуется удобный вид; нужно получить \(6\sqrt2\). 5. Сокращение на ноль: в дроби сначала проверяют, что знаменатель не равен нулю.
Не путайте преобразование корня с сравнением корней. При сравнении иногда удобно возвести неотрицательные стороны в квадрат, а при упрощении — разложить подкоренное выражение на множители. Для выражений вроде \(\sqrt{a+2\sqrt b}\) нужны специальные приёмы двойного радикала.
Порядок действий при решении
- Запишите ОДЗ, если под корнем или в знаменателе есть переменная.
- Разложите подкоренные числа и выражения на множители.
- Вынесите полные квадраты из-под знака корня, используя модуль при необходимости.
- Приведите подобные радикалы и раскройте скобки.
- Сократите дробь только на ненулевой множитель.
- Проверьте, что результат записан в наиболее простом виде.
Быстрая проверка
Главное
- Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
- Чтобы вынести множитель, представьте подкоренное выражение как \(a^2b\) и используйте \(\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b\).
- Складывать и вычитать можно только подобные радикалы после их упрощения.
- При буквенных выражениях учитывайте модуль и ОДЗ.
- Удобный вид — это форма, где все возможные полные квадраты вынесены из-под корня.