Проценты в финансовых задачах
Финансовые задачи решаются через одно главное действие: исходную величину умножают на коэффициент изменения. Если цена, вклад или долг изменяются несколько раз, коэффициенты перемножают, а не складывают проценты. Перед решением полезно повторить процентное изменение величины и правила работы со стоимостью товара.
Базовые понятия и коэффициент изменения
Процент — это одна сотая часть величины: \(1\% = \frac{1}{100}\). Если величина равна \(A\), то \(p\%\) от неё составляет \(\frac{p}{100}A\). В финансовых задачах важно различать исходную величину и величину после изменения.
При увеличении величины \(A\) на \(p\%\) новая величина равна \(A\left(1+\frac{p}{100}\right)\). При уменьшении на \(p\%\) она равна \(A\left(1-\frac{p}{100}\right)\). Число в скобках называют коэффициентом изменения.
Например, повышение на \(18\%\) означает умножение на \(1{,}18\), а скидка \(18\%\) — умножение на \(0{,}82\). Если известны новая и исходная величины, процент изменения находят так:
Процент всегда считают от той величины, которая указана как база: «скидка от первоначальной цены», «доход от суммы вклада», «переплата от суммы кредита». Одинаковые по числу проценты могут давать разные результаты, если базы различны.
Цены, скидки и наценки
При скидке цену уменьшают умножением на коэффициент \(1-\frac{p}{100}\). При наценке цену увеличивают умножением на \(1+\frac{p}{100}\). Подробные частные случаи разобраны на страницах скидки и наценки.
Чтобы восстановить первоначальную цену, нужно делить на коэффициент, а не прибавлять тот же процент. Если после скидки \(p\%\) цена стала \(C\), то исходная цена равна \(\frac{C}{1-p/100}\). Если цена после наценки \(p\%\) равна \(C\), исходная цена равна \(\frac{C}{1+p/100}\).
Товар после скидки \(20\%\) стоит 2400 рублей. Найдём первоначальную цену.
Проверка: \(3000\cdot0{,}8=2400\). Значит, первоначальная цена равна 3000 рублей.
При нескольких изменениях каждое новое изменение действует уже на текущую цену. Поэтому две последовательные скидки \(a\%\) и \(b\%\) дают коэффициент \(\left(1-\frac{a}{100}\right)\left(1-\frac{b}{100}\right)\), а не скидку \((a+b)\%\). Это подробно показано на странице последовательные скидки.
Цена товара 5000 рублей сначала увеличилась на \(10\%\), а затем уменьшилась на \(10\%\). Какова итоговая цена?
Банковские проценты: вклад и простой процент
В задачах о банке нужно определить сумму, на которую начисляют проценты, ставку и период начисления. Процентная ставка обычно задаётся в процентах годовых, а период начисления процентов может быть годом, месяцем или другим промежутком.
При простом проценте доход за каждый период считают от первоначальной суммы. Если вклад \(S\) размещён на \(n\) периодов под ставку \(r\%\) за период, то доход равен \(S\cdot\frac{r}{100}\cdot n\), а итоговая сумма —:
Такую модель называют простым процентом. Она используется, если начисленные проценты не присоединяются к вкладу или это прямо сказано в условии.
Если ставка дана годовая, а срок указан в месяцах, часто используют долю года \(\frac{n}{12}\). Например, за 8 месяцев при ставке \(12\%\) годовых простой доход равен \(S\cdot0{,}12\cdot\frac{8}{12}\). Всегда проверяйте, какую модель начисления требует условие.
Сложный процент и кредит
При сложном проценте начисленные проценты присоединяются к сумме, и в следующем периоде новые проценты считают уже от увеличенной суммы. Поэтому коэффициент изменения возводят в степень числа периодов.
Например, вклад 100 000 рублей под \(10\%\) годовых на 2 года при ежегодной капитализации составит \(100000\cdot1{,}1^2=121000\) рублей. Если капитализации нет, простой процент дал бы \(100000(1+0{,}1\cdot2)=120000\) рублей.
В кредитных задачах важно отличать сумму кредита от переплаты. Если заёмщик получил \(S\) рублей и вернул \(T\) рублей, переплата равна \(T-S\). Процент переплаты считают от суммы кредита:
Если платежи одинаковы и их \(n\), общая сумма возврата равна произведению размера платежа на их число: \(T=na\). Затем можно найти переплату и её процент. В реальных кредитах начисление по месяцам и график платежей могут быть сложнее; в экзаменационной задаче используйте именно модель, указанную в условии.
1. Складывать проценты при последовательных изменениях. 2. Считать процент переплаты от суммы возврата, хотя база — сумма кредита. 3. Забывать, что после скидки остаётся \(100-p\%\). 4. При восстановлении цены умножать на коэффициент вместо деления. 5. Игнорировать единицы времени: месячную ставку нельзя бездумно подставлять вместо годовой.
Алгоритм решения финансовой задачи
- Выпишите величину, которую нужно найти, и обозначьте её буквой.
- Определите исходную базу каждого процента: цена, вклад, долг или уже изменённая сумма.
- Переведите каждое изменение в коэффициент: увеличение — \(1+\frac{p}{100}\), уменьшение — \(1-\frac{p}{100}\).
- Перемножьте коэффициенты при последовательных изменениях или используйте степень при сложном проценте.
- Для кредита отдельно найдите общую сумму возврата, переплату и процент переплаты.
- Проверьте ответ: после скидки цена должна уменьшиться, после наценки — увеличиться, а единицы измерения должны совпадать.
Процентная задача почти всегда сводится к коэффициенту: \(100\%\to1\), увеличение на \(p\%\to1+\frac{p}{100}\), уменьшение на \(p\%\to1-\frac{p}{100}\). Обратное действие — деление на коэффициент.
Быстрый тест
Главное
- Переводите изменение на \(p\%\) в коэффициент \(1\pm\frac{p}{100}\).
- При последовательных скидках, наценках и изменениях перемножайте коэффициенты.
- Для простого процента используйте \(S(1+\frac{r}{100}n)\), для сложного — \(S(1+\frac{r}{100})^n\).
- В кредитной задаче сначала найдите общую сумму возврата, затем переплату и процент переплаты от суммы кредита.
- При обратном поиске исходной величины делите на коэффициент изменения.