Проценты и пропорции
Процент — это сотая часть величины. В этой теме важно научиться переводить проценты в дроби и обратно, находить долю от числа, восстанавливать целое по его части и составлять пропорции для текстовых задач.
Доля и процент
Нахождение процента от числа начинается с понимания доли. Доля показывает, какую часть целого составляет величина. Если целое разделено на \(b\) равных частей и взято \(a\) частей, то доля равна \(\frac{a}{b}\).
Доля — отношение части величины к самой величине. Если часть равна \(a\), а целое равно \(b\), то доля части составляет \(\frac{a}{b}\) при \(b\ne0\).
Процент — это доля, выраженная в сотых долях. Поэтому \(1\% = \frac{1}{100}=0{,}01\), а \(p\% = \frac{p}{100}\). Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, умножают её на \(100\%\). Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, делят число процентов на 100.
| Запись | Десятичная дробь | Обыкновенная дробь |
|---|---|---|
| \(25\%\) | \(0{,}25\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(40\%\) | \(0{,}4\) | \(\frac{2}{5}\) |
| \(125\%\) | \(1{,}25\) | \(\frac{5}{4}\) |
Для вычислений удобно использовать десятичную дробь: \(18\% = 0{,}18\), \(7\% = 0{,}07\), \(150\% = 1{,}5\). Процент больше \(100\%\) означает величину, большую целого.
Основные типы задач
Все стандартные задачи можно свести к трём величинам: целое \(S\), процент \(p\) и часть \(A\). Из условия нужно определить, какая из них неизвестна.
Эта формула используется, когда нужно найти \(p\%\) от числа \(S\). Например, \(12\%\) от 250 равны \(250\cdot0{,}12=30\).
Так находят, сколько процентов составляет часть \(A\) от целого \(S\). Важно, что в знаменателе стоит именно целое, с которым сравнивают часть.
Так восстанавливают целое по известной части и её проценту. Например, если 36 — это \(15\%\) числа, то число равно \(36\cdot\frac{100}{15}=240\).
Если известны две из величин \(S\), \(A\) и \(p\), третью находят из формул: часть — умножением целого на процент; процент — делением части на целое; целое — делением части на долю.
Подробная запись этих преобразований приведена на странице процентной формуле. Для устных вычислений полезно помнить таблицу процентов: \(10\%\) — это десятая часть, \(1\%\) — сотая часть, \(5\%\) — половина от \(10\%\), \(25\%\) — четверть.
Сколько процентов составляет число 18 от числа 72?
Пропорции в задачах
Пропорция — это равенство двух отношений. Она помогает записать условие задачи коротко и найти неизвестный член.
Пропорция — равенство вида \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), где \(b\ne0\) и \(d\ne0\). Числа \(a\) и \(d\) образуют крайние члены, а \(b\) и \(c\) — средние.
В процентной задаче пропорцию можно составить так: если \(S\) — это \(100\%\), то часть \(A\) — это \(p\%\). Тогда \(\frac{A}{S}=\frac{p}{100}\). Такой способ особенно удобен в задачах с таблицами, изменением цены, массой, расстоянием и количеством.
После скидки \(15\%\) куртка стала стоить 2550 рублей. Сколько она стоила до скидки?
Ответ: первоначальная цена куртки — 3000 рублей. Обратите внимание: после скидки нельзя просто прибавить к 2550 число, равное \(15\%\) от 2550. Процент скидки считался от первоначальной цены, а не от новой.
Задачи, где данные удобно расположить по строкам и столбцам, разобраны на странице процентных задач с таблицами. После освоения базовых способов переходите к странице задач на проценты.
Изменение величины и проверка ответа
При увеличении величины на \(p\%\) к исходному значению добавляют \(p\%\) от него. При уменьшении на \(p\%\) эту часть вычитают. Поэтому изменённую величину можно найти одним умножением.
Например, после увеличения на \(20\%\) величина становится равной \(1{,}2\) исходной, а после уменьшения на \(20\%\) — \(0{,}8\) исходной. Это связано с процентным изменением величины. Последовательные изменения разбираются отдельно на странице последовательных процентных изменений: два одинаковых процента подряд не дают простого удвоения процента.
1. Не различать число и процент: \(20\%\) — это \(0{,}2\), а не 20. 2. Находить процент от неправильного целого: сначала определите, с чем сравнивается часть. 3. При скидке считать процент от новой цены вместо первоначальной. 4. Забывать, что \(p\%\) от числа — это умножение на \(\frac{p}{100}\). 5. Не проверять смысл ответа: часть обычно меньше целого, а после скидки цена должна уменьшиться.
Прочитайте условие и назовите величины. Определите исходное целое. Переведите проценты в доли или составьте пропорцию. Выполните вычисления с единицами измерения. В конце проверьте ответ обратным действием и запишите его с единицей.
Быстрая проверка
Главное
- Доля части от целого равна \(\frac{A}{S}\), а процент этой доли — \(\frac{A}{S}\cdot100\%\).
- Процент \(p\%\) переводится в долю как \(\frac{p}{100}\).
- Часть находят по формуле \(A=S\cdot\frac{p}{100}\), целое — по формуле \(S=A\cdot\frac{100}{p}\).
- В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
- При изменении величины используйте множители \(1+\frac{p}{100}\) или \(1-\frac{p}{100}\) и обязательно проверяйте ответ.