Задачи на проценты
Задачи на проценты сводятся к трём основным типам: найти процент от известной величины, восстановить величину по известному проценту и определить, на сколько процентов изменилась величина. Перед чтением полезно повторить проценты и пропорции и процентную формулу.
Основные понятия
Процент — это одна сотая часть величины. Запись \(p\%\) означает дробь \(\frac{p}{100}\). Например, \(7\%=\frac{7}{100}=0{,}07\). Десятичная дробь, показывающая, какую часть одна величина составляет от другой, называется долей.
Если величина \(a\) составляет часть величины \(b\), то её доля равна \(\frac{a}{b}\), а в процентах — \(\frac{a}{b}\cdot100\%\). Поэтому доля \(0{,}35\) соответствует \(35\%\).
В задачах величину, с которой сравнивают, называют основной величиной или 100%. Процент всегда считают именно от неё. Если 12 учеников из 30 занимаются спортом, то доля таких учеников равна \(\frac{12}{30}=0{,}4\), то есть \(40\%\).
Три базовых типа задач
Обозначим целую величину буквой \(A\), процент — \(p\%\), а соответствующую ему часть — \(B\).
- Найти процент от числа: известны \(A\) и \(p\). Нужно найти \(B\): умножить число на дробь \(\frac{p}{100}\).
- Найти число по его проценту: известны \(B\) и \(p\). Нужно найти \(A\): разделить часть на дробь \(\frac{p}{100}\).
- Найти, сколько процентов составляет одно число от другого: известны \(A\) и \(B\). Нужно разделить часть на целое и умножить на \(100\%\).
Сначала определите, что является 100%. Затем назовите известные величины: целое, процент или часть. Если требуется часть — умножайте; если требуется целое по части и проценту — делите; если требуется процент — делите часть на целое и умножайте на \(100\%\).
Процент можно считать и через пропорцию: если \(A\) — это 100%, а \(B\) — это \(p\%\), то \(\frac{B}{A}=\frac{p}{100}\). Такой способ особенно удобен, когда условие задачи содержит несколько связанных величин.
Число 80 увеличили на 15%. Какое выражение задаёт новое значение?
Процентное изменение
Если начальная величина равна \(A\), а новая — \(B\), то абсолютное изменение равно \(B-A\). Процентное изменение считают от начальной величины, потому что именно она является исходными 100%.
При увеличении на \(p\%\) новая величина составляет \(100\%+p\%\), то есть \(1+\frac{p}{100}\) от начальной. При уменьшении на \(p\%\) она составляет \(100\%-p\%\), то есть \(1-\frac{p}{100}\) от начальной.
Процентный пункт — это единица измерения разности двух процентных значений. Если доля выросла с \(24\%\) до \(31\%\), она увеличилась на \(7\) процентных пунктов. В процентах относительно прежней доли рост равен \(\frac{31-24}{24}\cdot100\%\approx29{,}2\%\).
Не путайте: изменение с 24% до 31% — это 7 процентных пунктов, но примерно 29,2% от первоначального значения доли. Процентные пункты применяют, когда сравнивают сами проценты или доли.
Разобранный пример
После повышения цены на 20% товар стал стоить 1440 рублей. Какова была его цена до повышения?
Искомая первоначальная цена — это 100%. После повышения товар стоит 120% от первоначальной цены. Поэтому 1440 рублей соответствуют 120%, а искомая цена — 100%.
Если величина изменяется несколько раз, множители перемножают. Например, увеличение на 10%, а затем уменьшение на 10% даёт множитель \(1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99\). Итоговая величина составляет 99% исходной, то есть уменьшилась на 1%, а не вернулась к прежнему значению.
1. Считать процент изменения от новой, а не от начальной величины. 2. При увеличении на \(p\%\) умножать на \(\frac{p}{100}\) вместо \(1+\frac{p}{100}\). 3. Путать 5 процентных пунктов и рост на 5%. 4. Складывать проценты при последовательных изменениях вместо перемножения коэффициентов. 5. Забывать единицы измерения и не выполнять проверку ответом в условие.
Алгоритм решения текстовой задачи
- Выпишите, что именно сравнивают, и определите величину, принятую за 100%.
- Переведите процент в десятичную дробь или оставьте запись в процентах.
- Выберите тип задачи: часть, целое, процент или изменение.
- Запишите формулу и подставьте числа с единицами измерения.
- Округлите только в конце, если это требуется условием.
- Проверьте ответ: часть обычно меньше целого; после увеличения результат больше исходного, после уменьшения — меньше.
В прикладных задачах проценты могут встречаться в цене, массе, концентрации, населении, банковском вкладе или кредите. Для задач с последовательными платежами полезно обратиться к алгоритму решения кредитной задачи, а для вклада — к расчёту банковского вклада. Задачи, где смешиваются доли веществ, разобраны на странице масса смеси.
| Что известно | Что найти | Действие |
|---|---|---|
| Целое \(A\) и процент \(p\) | Часть \(B\) | \(A\cdot\frac{p}{100}\) |
| Часть \(B\) и процент \(p\) | Целое \(A\) | \(B:\frac{p}{100}\) |
| Целое \(A\) и часть \(B\) | Процент \(p\) | \(\frac{B}{A}\cdot100\%\) |
| Начальное \(A\) и конечное \(B\) | Процент изменения | \(\frac{B-A}{A}\cdot100\%\) |
Связь с другими задачами
В задачах о кредите проценты часто начисляются на остаток долга, поэтому важно отличать процентную ставку от доли платежа: см. проценты по остатку долга и основной долг по кредиту. При сравнении предложений учитывают не только ставку, но и все платежи — это рассматривается в теме сравнение кредитов.
Быстрая проверка
Главное
- Процент \(p\%\) — это дробь \(\frac{p}{100}\), а доля части от целого — отношение \(\frac{\text{часть}}{\text{целое}}\).
- Для нахождения процента от числа умножают число на \(\frac{p}{100}\); для восстановления числа делят часть на \(\frac{p}{100}\).
- Процентное изменение считают от начальной величины: \(\frac{B-A}{A}\cdot100\%\).
- При последовательных изменениях перемножают коэффициенты, а не складывают проценты.
- Процентные пункты показывают разность процентных значений и не равны относительному процентному изменению.