Алгоритм решения кредитной задачи
Кредитные задачи описывают, как заёмщик возвращает банку основной долг и проценты. Чтобы решить такую задачу, составьте график платежей, определите проценты за каждый период, найдите остаток долга и сравните общую сумму выплат с первоначальной суммой кредита.
Основные понятия и модель кредита
Пусть банк выдал кредит на сумму \(S_0\). Заёмщик вносит платежи через равные промежутки времени: обычно раз в месяц, квартал или год. Процентная ставка \(p\%\) задаётся за один такой период, если это сказано в условии. Перед решением уточните, начисляются ли проценты на первоначальную сумму или на текущий остаток долга.
Кредит — это сумма, полученная на время и возвращаемая по графику вместе с процентами. Основной долг — часть кредита, которую заёмщик ещё не вернул. Проценты — плата за пользование деньгами банка.
Если в начале периода долг равен \(D\), ставка за период равна \(r\), а платёж равен \(A\), то после начисления процентов и внесения платежа новый долг равен \(D(1+r)-A\), где \(r=\frac{p}{100}\).
В этой модели платеж \(A\) одинаков каждый период, а проценты начисляются на остаток долга в начале периода. Именно такую схему часто используют в заданиях ЕГЭ. Если в условии сказано, что каждый раз выплачивается одна и та же доля первоначального долга, задача решается иначе: сначала находят основной долг за период, затем добавляют проценты.
Процент от остатка долга считают не от первоначального кредита, а от суммы, которая оставалась перед начислением процентов в данном периоде.
Алгоритм решения кредитной задачи
- Выпишите первоначальный долг \(S_0\), ставку \(p\%\) и размер платежа или правило его вычисления.
- Переведите ставку в десятичную дробь: \(r=\frac{p}{100}\).
- Составьте таблицу: номер периода, долг в начале периода, начисленные проценты, платёж, долг после платежа.
- Для каждого периода найдите проценты по формуле \(I_k=rD_k\).
- Вычтите из увеличившегося долга платёж: \(D_{k+1}=D_k+I_k-A\).
- Проверьте, что последний остаток равен нулю или не превышает допустимую величину, указанную в условии.
- Для нахождения переплаты сложите все платежи и вычтите первоначальную сумму кредита.
Если платежи одинаковы, общая сумма выплат равна \(nA\), где \(n\) — число платежей. Тогда переплата равна \(nA-S_0\). Если последний платёж отличается, складывайте платежи по отдельности.
| Период | Долг в начале | Проценты | Платёж | Долг после платежа |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(D_0\) | \(D_0r\) | \(A\) | \(D_0(1+r)-A\) |
| 2 | \(D_1\) | \(D_1r\) | \(A\) | \(D_1(1+r)-A\) |
| \(k\) | \(D_{k-1}\) | \(D_{k-1}r\) | \(A\) | \(D_k\) |
Разобранный пример
Кредит \(100\,000\) рублей взят на два года. В конце каждого месяца долг увеличивается на \(1\%\), после чего вносится одинаковый платёж. За первые два месяца долг уменьшился до \(80\,000\) рублей. Найдите размер ежемесячного платежа и переплату за два месяца, если после второго платежа кредит полностью погашен.
В последней строке видно, что условие примера противоречиво: за два платежа около 10 950 рублей нельзя погасить кредит в 100 000 рублей, а остаток \(80\,000\) после второго платежа означает, что погашена только часть долга. Поэтому отрицательная «переплата» показывает не переплату, а то, что кредит ещё не погашен. Корректно назвать сумму выплаченных процентов по двум месяцам можно только после учёта уменьшения основного долга: она равна общей сумме начисленных процентов, а не разности \(2A-S_0\).
В реальной задаче обязательно проверьте смысл результата. Переплата по полностью погашенному кредиту не может быть отрицательной. Если после последнего платежа остался долг, это ещё не переплата, а невыплаченная часть кредита.
Кредит \(50\,000\) рублей, ставка за период \(2\%\), долг в начале периода \(40\,000\) рублей. Сколько процентов начислится за этот период?
Основные схемы начисления
В задачах встречаются две схемы. При аннуитетной схеме платёж одинаков, но доля процентов в нём постепенно уменьшается, а доля основного долга увеличивается. При дифференцированной схеме основной долг погашается равными частями, поэтому платежи обычно уменьшаются.
Для дифференцированной схемы в периоде \(k\) проценты вычисляют по остатку перед платежом, а сам платёж равен сумме основной части и процентов:
Подробный порядок составления строк таблицы удобно повторить на странице график платежей, а смысл основной части платежа — на странице основной долг по кредиту. Процентные преобразования можно освежить в теме задачи на проценты.
Формулы, проверки и полезные приёмы
Если платежи одинаковы, рекуррентную формулу можно применять последовательно. Не пытайтесь сразу округлять остаток долга после каждого периода: округление иногда меняет последний платёж. Сначала считайте точно или сохраняйте несколько знаков после запятой, а округляйте денежный ответ в конце.
После каждого периода основной долг обычно уменьшается. Если он вырос, проверьте знак платежа, перевод процентов в дробь и то, от какой суммы начислялись проценты.
Не путайте \(p\%\) и \(p\): ставка \(7\%\) — это \(0{,}07\). Не начисляйте проценты постоянно на первоначальный кредит, если в условии сказано «на остаток долга». Не считайте переплатой сумму всех платежей: из неё нужно вычесть полученный кредит. Нельзя округлять каждый промежуточный результат до целого рубля без указания в условии.
Когда требуется найти неизвестную ставку, сначала составьте уравнение по последнему остатку. Например, при одном периоде погашения уравнение имеет вид \(S_0(1+r)-A=0\). При нескольких периодах удобно последовательно выразить остатки или использовать таблицу. Сравнивать два кредита лучше после изучения страницы сравнение кредитов, где отдельно рассматриваются переплата и продолжительность выплат.
Итоговая проверка
Проверьте себя
Главное
- Переводите ставку \(p\%\) в дробь \(r=\frac{p}{100}\).
- При начислении на остаток проценты за период равны \(D_kr\), а новый долг — \(D_k(1+r)-A\).
- Составляйте таблицу платежей и проверяйте остаток после каждой строки.
- Переплата равна общей сумме выплат минус первоначальная сумма кредита.
- Отрицательный результат или растущий долг обычно указывают на ошибку в модели, знаках или округлении.