Геометрические фигуры на плоскости
Геометрическая фигура на плоскости — это множество точек, рассматриваемых как единое целое. В планиметрии фигуры описывают с помощью точек, линий, отрезков, углов и взаимного расположения элементов.
1. Точка, желілер и расстояния
Точка обозначается заглавной латинской буквой: \(A\), \(B\), \(C\). Точка не имеет длины, ширины и площади. Она задаёт положение на плоскости и может быть вершиной фигуры или концом отрезка.
Через две различные точки проходит единственная прямая. Прямую обозначают строчной латинской буквой \(a\) или двумя точками, например \(AB\). Прямая бесконечна в обе стороны. Часть прямой, ограниченная одной точкой, называется лучом, а часть, ограниченная двумя точками, — отрезком \(AB\).
Длина отрезка \(AB\) — это расстояние между его концами. Расстояние между точками всегда неотрицательно и не зависит от направления измерения. Подробные свойства рассматриваются в теме длина отрезка и расстояние.
Вершина — точка, в которой соединяются стороны или другие элементы фигуры. Сторона — отрезок границы многоугольника. Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника. Граница отделяет фигуру от внешней части плоскости, а внутренние точки находятся внутри неё.
2. Углы и взаимное расположение линий
Угол образуют два луча с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол обозначают тремя буквами, например \(\angle ABC\), причём средняя буква \(B\) — вершина.
По величине различают острый угол меньше \(90^\circ\), прямой угол равный \(90^\circ\), тупой угол больше \(90^\circ\), но меньше \(180^\circ\), и развёрнутый угол равный \(180^\circ\). Измерение и классификация углов подробно разобраны в теме виды углов и их измерение.
Две прямые могут пересекаться, быть параллельными немесе перпендикулярными. Параллельные прямые не имеют общих точек на плоскости. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и равны между собой.
3. Многоугольники и окружность
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков. Число сторон многоугольника равно числу его вершин: у треугольника три стороны, у четырёхугольника — четыре, у пятиугольника — пять.
У многоугольника выделяют стороны, вершины, внутренние углы и диагонали. Диагональ соединяет вершины, не являющиеся соседними. Число диагоналей выпуклого \(n\)-угольника вычисляют по формуле.
Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. У невыпуклого многоугольника хотя бы один внутренний угол больше \(180^\circ\). Үшбұрыштар и их элементы изучаются на странице элементы треугольника, а классификация треугольников — на странице виды треугольников.
Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии \(R\) от данной точки \(O\). Точка \(O\) — центр, а \(R\) — радиус. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр, называется диаметром.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью вместе со всеми внутренними точками. Не следует путать окружность и круг: окружность является только границей, а круг включает и границу, и внутреннюю область.
Сколько диагоналей имеет выпуклый шестиугольник?
4. Как описывают фигуру на плоскости
Фигуру можно описать несколькими способами. В словесном описании перечисляют её элементы и свойства: число сторон, равенство отрезков, величины углов, параллельность или перпендикулярность прямых. На чертеже показывают вершины, стороны, углы, диагонали и дополнительные линии.
Для точного описания используют обозначения. Например, жазба \(AB=BC\) означает равенство отрезков, а \(\angle ABC=90^\circ\) — прямой угол. Если точка \(C\) лежит между \(A\) и \(B\), то длина всего отрезка равна сумме частей.
На координатной плоскости точку задают парой координат \((x;y)\). Для точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) расстояние между ними находят по теореме Пифагора.
Середина отрезка делит его на две равные части. Её свойства, а также середина отрезка и серединный перпендикуляр рассматриваются отдельно. Множество точек, удовлетворяющих общему условию, называют геометрическим местом точек. Например, геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, — окружность.
5. Разобранный пример
Дан выпуклый семиугольник. Сколько у него сторон, вершин, внутренних углов и диагоналей?
Ответ: у семиугольника 7 сторон, 7 вершин, 7 внутренних углов и 14 диагоналей. При подсчёте диагоналей важно не считать стороны: из каждой вершины можно провести отрезки только к \(n-3\) вершинам — нельзя соединять вершину с самой собой и с двумя соседними.
1. Путать окружность и круг. 2. Называть луч отрезком: у луча только один конец. 3. Записывать угол тремя буквами так, что вершина стоит не посередине. 4. Считать соседнюю сторону диагональю. 5. Забывать единицы измерения длины и площади. 6. Делать вывод о равенстве фигур только по внешнему виду чертежа — нужны данные или доказательство.
Сначала назовите все отмеченные точки, затем найдите отрезки и углы, после этого определите связи между ними: равенство, пересечение, параллельность или перпендикулярность. Не измеряйте рисунок линейкой, если условие не разрешает это явно.
Итоговая проверка
Проверь себя
Главное
- Фигуры на плоскости состоят из точек и линий; основные элементы — вершины, стороны, углы и диагонали.
- Отрезок имеет два конца, луч — один, прямая не имеет концов.
- Окружность состоит из точек на одинаковом расстоянии от центра, а круг включает внутреннюю область.
- Число диагоналей выпуклого \(n\)-угольника: \(d=\frac{n(n-3)}{2}\).
- Фигуру описывают словами, обозначениями, формулами и точным чертежом.