Тапсырма № 13 · ОГЭ

Наибольший общий делитель

Определение, свойства и способы нахождения НОД

3 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — это самое большое натуральное число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка. НОД используют, например, при сокращении дробей и решении задач на делимость.

Наибольший общий делитель чисел \(a\) и \(b\) — наибольшее натуральное число \(d\), которое является делителем и \(a\), и \(b\). Обозначают: \(\operatorname{НОД}(a,b)\) немесе \(\gcd(a,b)\). Чтобы находить общие делители, полезно знать понятие общих делителей чисел.

\[d=\operatorname{НОД}(a,b),\qquad d\mid a,\quad d\mid b\]

НОД можно найти несколькими способами. При небольших числах выписывают общие делители и выбирают наибольший. По разложению на простые множители берут только общие простые множители и для каждого выбирают меньший показатель степени. Ещё один универсальный способ — алгоритм Евклида.

№

Пример

Найдём \(\operatorname{НОД}(84,126)\). Разложения: \(84=2^2\cdot3\cdot7\) и \(126=2\cdot3^2\cdot7\). Общая часть с меньшими показателями: \(2\cdot3\cdot7=42\). Значит, \(\operatorname{НОД}(84,126)=42\).

Не путайте НОД и НОК

Наименьшее общее кратное — это наименьшее положительное число, кратное данным числам. НОД ищет общий делитель, а НОК — общее кратное.

Проверьте себя

Чему равен \(\operatorname{НОД}(18,30)\)?

Главное за минуту

Главное

НОД — наибольшее натуральное число, делящее каждое из данных чисел без остатка.
Его находят перебором общих делителей, по разложениям на простые множители или алгоритмом Евклида.
НОД связан с делителями, а НОК — с кратными; это разные понятия.