Кесте производных элементарных функций
Таблица производных помогает быстро находить производную элементарной функции. Перед её применением повторите определение производной и помните: если функция сложная, после таблицы обычно требуется правило производной сложной функции.
Как пользоваться таблицей
Производная функции \(y=f(x)\) обозначается \(f'(x)\) немесе \(y'\). Чтобы найти её, определите вид функции, выберите соответствующую строку таблицы и проверьте область определения. Если перед функцией стоит постоянный множитель, его выносят за знак производной. Сумму и разность дифференцируют по частям; более подробно это разобрано на странице о правилах дифференцирования.
Производная функции в точке показывает скорость изменения функции и угловой коэффициент касательной к её графику. Для функции \(y=f(x)\) производная обозначается \(f'(x)\).
Для постоянного числа \(C\) и функций \(f(x)\), \(g(x)\) выполняются правила: \((C f(x))'=C f'(x)\) и \((f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\).
Степенные функции
Степенная функция имеет вид \(y=x^n\), где показатель \(n\) может быть целым, дробным или отрицательным. Для натурального показателя правило означает: показатель переносится множителем, а затем уменьшается на единицу.
Формула для корня получается из представления \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\). Аналогично \(\frac{1}{x^m}=x^{-m}\), поэтому отрицательные степени также дифференцируются по общему правилу.
| Функция | Производная |
|---|---|
| \(C\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
Нельзя считать, что \((x^n)'=x^{n-1}\). Множитель \(n\) обязателен: \((x^5)'=5x^4\), а не \(x^4\).
Показательная и логарифмическая функции
У показательной функции переменная находится в показателе степени. Число \(e\) — основание натурального логарифма. При основании \(a>0\), \(a\ne1\), производная содержит множитель \(\ln a\).
Логарифмическая функция определена при положительном аргументе. Натуральный логарифм обозначают \(\ln x\), а логарифм по основанию \(a\) — \(\log_a x\).
Для \(e^x\) производная совпадает с самой функцией: \((e^x)'=e^x\). Для \(\ln x\) производная равна \(\frac1x\). В формуле для \(a^x\) и \(\log_a x\) появляется \(\ln a\).
Если аргумент логарифма или показатель степени сложный, используется правило цепочки. Например, \((\ln(3x+1))'=\frac{3}{3x+1}\), а \((e^{2x})'=2e^{2x}\).
Тригонометрические функции
Аргумент тригонометрических функций должен быть выражен в радианах. В школьных задачах производные синуса и косинуса используются чаще всего; производные тангенса и котангенса применяются при соблюдении области определения.
Для функций со сложным аргументом множитель равен производной аргумента: \((\sin u)'=u'\cos u\) и \((\cos u)'=-u'\sin u\). Полная таблица и дополнительные пояснения приведены в разделе производных тригонометрических функций.
Чему равна производная функции \(y=\ln(5x)\)?
Разобранный пример
Найдём производную функции \(y=3x^4-2\sin x+5e^x-\ln x\). Это типичный пример, где нужно применить таблицу и линейность производной.
Итак, \(y'=12x^3-2\cos x+5e^x-\frac1x\). Исходная функция содержит \(\ln x\), поэтому она определена только при \(x>0\); этот факт важно учитывать, если дальше требуется найти нули производной или промежутки возрастания.
Сложные аргументы и типичные тапсырма
В выражениях \(\sin(4x)\), \((2x-1)^7\), \(e^{-3x}\) и \(\ln(x^2+1)\) внешняя функция известна по таблице, но её аргумент не равен просто \(x\). Поэтому применяют правило производной сложной функции.
Например, \((2x-1)^7=14(2x-1)^6\), \((\sin 4x)'=4\cos4x\), \((e^{-3x})'=-3e^{-3x}\), а \((\ln(x^2+1))'=\frac{2x}{x^2+1}\).
У косинуса перед синусом стоит минус: \((\cos x)'=-\sin x\). При сложном аргументе нельзя забывать множитель \(u'\). Также не путайте \((a^x)'=a^x\ln a\) с \((x^a)'=a x^{a-1}\).
Сначала перепишите функцию по слагаемым. Затем определите вид каждого слагаемого, примените формулу таблицы, вынесите постоянные множители и только после этого упростите ответ. В конце проверьте область определения.
Проверь себя
Жылдам тест
Краткий итог
- Для степенной функции: \((x^n)'=nx^{n-1}\).
- Для показательной и логарифмической функций: \((a^x)'=a^x\ln a\), \((\ln x)'=\frac1x\).
- Основные тригонометрические формулы: \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\).
- Сумму дифференцируют по слагаемым, постоянный множитель выносят.
- Для сложного аргумента обязательно умножают на производную внутренней функции.
- Перед ответом проверяют знак, множители и область определения.