Применение нескольких признаков делимости
Если число должно одновременно делиться на несколько заданных чисел, признаки делимости применяют не по отдельности, а как систему условий. Главная идея: заменить несколько требований одним условием делимости на наименьшее общее кратное или последовательно ограничить цифры числа.
Как объединять условия делимости
Сначала полезно повторить признаки делимости и вспомнить, что число делится на несколько чисел тогда и только тогда, когда оно кратно их общему кратному. На практике выбирают наименьшее общее кратное — НОК. Материал об общих кратных нужен именно для этого перехода.
Число \(N\) одновременно делится на \(a\) и \(b\), если выполняются оба условия: \(a\mid N\) и \(b\mid N\). Это равносильно условию \(\operatorname{НОК}(a,b)\mid N\).
Чтобы число делилось на несколько чисел \(a_1,a_2,\ldots,a_k\), достаточно и необходимо, чтобы оно делилось на \(L=\operatorname{НОК}(a_1,a_2,\ldots,a_k)\). Если одно из требований уже следует из другого, его можно не учитывать: например, делимость на \(12\) автоматически даёт делимость на \(2\) и \(3\).
НОК удобно находить по каноническому разложению числа: выписывают все простые множители, выбирая для каждого наибольшую степень. Например, \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\), поэтому \(\operatorname{НОК}(12,18)=2^2\cdot3^2=36\).
Если числа взаимно просты, их НОК равен произведению. Если один делитель кратен другому, НОК равен большему из них. Эти наблюдения часто экономят время на экзамене.
Сочетание признаков по цифрам
Иногда находить НОК необязательно. Условия удобно объединить непосредственно по записи числа. Например, делимость на \(2\) означает чётность последней цифры, а делимость на \(5\) — что последняя цифра равна \(0\) или \(5\). Вместе они дают последнюю цифру \(0\), то есть делимость на \(10\).
Делимость на \(2\) и \(3\) равносильна делимости на \(6\); на \(3\) и \(4\) — делимости на \(12\); на \(2\) и \(5\) — делимости на \(10\). Для условий, связанных с последними цифрами, полезны отдельные страницы о делимости на 2, 5 и 10, делимости на 3 и 9, делимости на 4 и 8 и делимости на 6 и 12.
| Условия | Что проверяем | Эквивалентное условие |
|---|---|---|
| \(2\) и \(5\) | последнюю цифру | последняя цифра \(0\) |
| \(2\) и \(3\) | чётность и сумму цифр | делимость на \(6\) |
| \(3\) и \(4\) | сумму цифр и последние две цифры | делимость на \(12\) |
| \(4\) и \(5\) | последние две цифры и последнюю цифру | делимость на \(20\) |
Для делимости на \(9\) и \(11\) применяются разные проверки: сумма цифр и знакопеременная сумма цифр. Признак делимости на \(11\) особенно полезен, если в условии встречается чередование цифр или неизвестная цифра в разрядах.
Какое условие можно использовать вместо одновременной делимости числа на \(8\) и \(3\)?
Алгоритм решения задач с неизвестной цифрой
В задачах экзамена часто дана запись числа с неизвестной цифрой, например \(\overline{7x4y}\). Требуется определить цифры \(x\) и \(y\), чтобы число делилось сразу на несколько делителей. Удобно действовать по плану.
- Выписать каждый признак делимости и понять, какие разряды он использует.
- Объединить условия, если это возможно, через НОК или известный признак.
- Получить уравнение или несколько ограничений для неизвестных цифр.
- Перебрать только допустимые цифры \(0,1,\ldots,9\), не забывая, что первая цифра числа не может быть нулём.
- Проверить найденный ответ делением или всеми исходными признаками.
Сначала применяйте самое сильное ограничение. Если число должно делиться на \(5\), сначала найдите последнюю цифру. Если оно должно делиться на \(4\) или \(8\), сразу рассмотрите последние две или три цифры. Условие по сумме цифр применяйте после этого.
Разобранный пример
Найдём все цифры \(x\) и \(y\), при которых число \(\overline{3x4y}\) делится одновременно на \(9\) и \(10\).
Число имеет четыре цифры: \(\overline{3x4y}=3000+100x+40+y\). Требуется делимость на \(9\) и \(10\).
Ответ: \(x=2\), \(y=0\). Важно, что сначала использовано условие на последнюю цифру, а затем — условие на сумму цифр. Если начать с полного перебора ста пар цифр, решение будет длиннее и выше риск ошибки.
Задачи на диапазон и количество чисел
Если требуется найти количество чисел, делящихся одновременно на несколько делителей, сначала замените условия делимостью на НОК \(L\). Затем перечисляйте числа вида \(L,2L,3L,\ldots\) в заданном диапазоне.
Количество целых чисел \(k\) в этом промежутке равно разности границ плюс один, если левая граница не превышает правую:
Например, числа, делящиеся на \(12\) и \(18\), одновременно делятся на \(36\). В отрезке от \(100\) до \(250\) это \(108,144,180,216\) и \(252\) уже не подходит, поэтому всего четыре числа.
Не перемножайте делители без проверки: произведение \(12\cdot18=216\) является общим кратным, но не наименьшим, поэтому может привести к пропуску подходящих чисел. Не забывайте, что делимость на \(a\) и \(b\) не всегда означает делимость на \(a\cdot b\). Например, \(6\) делится на \(2\) и \(3\), но не на \(6\)? В этом примере делится, а вот число \(12\) делится на \(4\) и \(6\), но не на \(24\). Всегда используйте НОК. Также не путайте сумму цифр с самим числом и проверяйте нулевую первую цифру в записи.
Когда полезны остатки и разложение
Если число задано формулой, например \(N=10^n+7\), признаки по цифрам могут быть неудобны. Тогда рассматривают остатки степеней по нужному модулю. Для одновременной делимости на несколько чисел снова можно перейти к модулю их НОК. В более сложных задачах помогает нахождение НОД по разложениям, поскольку НОК и НОД связаны формулой выше.
В задачах, где нужно исследовать все делители числа или сумму таких делителей, признаки делимости часто являются только первым шагом. Для продолжения можно обратиться к страницам количество делителей числа и сумма делителей. А общий подход к текстовым задачам изложен в странице задачи на делимость.
Быстрая проверка
Главное
- Одновременная делимость на несколько чисел заменяется делимостью на их НОК.
- НОК находят по простым разложениям или по формуле через НОД.
- Для числа с неизвестными цифрами сначала применяют ограничения на последние цифры, затем признак по сумме цифр или другой подходящий признак.
- Для подсчёта кратных в диапазоне используют числа вида \(Lk\) и формулу с целыми частями.
- После решения обязательно проверьте исходные условия, особенно последнюю цифру и сумму цифр.