Расстояние между точками на координатной плоскости
Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находят по разности их координат: квадрат расстояния равен сумме квадратов разностей абсцисс и ординат. Формула основана на теореме Пифагора.
Формула
Для точек \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\) вычисляют разности соответствующих координат, возводят их в квадрат, складывают и извлекают квадратный корень.
Порядок вычитания не важен: при возведении в квадрат выражения \((x_2-x_1)^2\) и \((x_1-x_2)^2\) равны. Если точки имеют одинаковую ординату, то отрезок горизонтальный и \(AB=|x_2-x_1|\). Если одинаковы абсциссы, то \(AB=|y_2-y_1|\).
Найдём расстояние между точками \(A(1;2)\) и \(B(4;6)\). Разности координат равны \(4-1=3\) и \(6-2=4\). Поэтому \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\). Действительно, горизонтальная и вертикальная составляющие образуют прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Расстояние между точками — это длина отрезка, а не сумма разностей координат. Нельзя писать \(AB=(x_2-x_1)+(y_2-y_1)\): разности нужно возвести в квадрат, сложить и только затем извлечь корень. Не следует также путать эту формулу с расстоянием от точки до прямой или с длиной [[vector-length:вектора]].
Каково расстояние между точками \(C(-2;1)\) и \(D(1;5)\)?
Главное
- Для \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) используется формула \(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
- Сначала находят разности абсцисс и ординат, затем применяют теорему Пифагора.
- Расстояние всегда неотрицательно; при совпадении одной координаты формула упрощается до модуля разности другой.