Тапсырма № 14 · ЕГЭ

Разность кубов

Формула разложения выражения \(a^3-b^3\) на множители

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Разность кубов — это выражение вида \(a^3-b^3\), которое раскладывается на произведение разности оснований и неполного квадрата суммы. Основная формула помогает заменять одно сложное выражение двумя множителями.

Разность кубов

Разностью кубов называют выражение \(a^3-b^3\), то есть разность кубов двух выражений \(a\) и \(b\). При разложении на множители она представляется в виде \((a-b)(a^2+ab+b^2)\). Чтобы применять формулу, полезно знать степень с натуральным показателем и уметь выполнять вынесение общего множителя за скобки.

Формула

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

В первом множителе стоит разность оснований \(a-b\). Во втором — сумма трёх слагаемых: квадрат первого основания, произведение оснований и квадрат второго основания. Знак среднего слагаемого всегда положительный.

№

Пример

Разложим \(8x^3-27\). Представим слагаемые как кубы: \(8x^3=(2x)^3\), \(27=3^3\). Тогда \(a=2x\), \(b=3\), поэтому \(8x^3-27=(2x-3)((2x)^2+2x\cdot3+3^2)=(2x-3)(4x^2+6x+9)\).

Не путайте с кубом разности

Разность кубов \(a^3-b^3\) — это не куб разности \((a-b)^3\). В формуле разности кубов после разложения получается произведение двух скобок, а не раскрытие одной степени. Также не следует менять знак среднего слагаемого: для разности кубов оно положительное.

Проверьте себя

Как разложить \(x^3-8\) на множители?

Главное за минуту

Главное

Разность кубов имеет вид \(a^3-b^3\).
Формула: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
При подстановке внимательно определяйте основания кубов и не меняйте знак среднего слагаемого.