Тапсырма № 16 · ОГЭ

Тапсырмалар на длину окружности и площадь круга

Как находить радиус и диаметр, длину окружности и площадь круга в одной есепке

6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Комбинированные задачи объединяют несколько связанных величин: радиус, диаметр, длину окружности и площадь круга. Чтобы решить их без ошибок, нужно правильно распознать данные, выбрать формулу и сохранить единицы измерения.

Основные понятия и связи

Радиус и диаметр связаны с центром и точками окружности. Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Диаметр — хорда, проходящая через центр; он состоит из двух радиусов.

Определения

Окружность — граница круга, состоящая из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Это расстояние называют радиусом и обозначают \(R\) немесе \(r\).

\[d=2r,\qquad r=\frac{d}{2}\]

Здесь \(r\) — радиус, а \(d\) — диаметр. Если в условии дан диаметр, сначала удобно найти радиус, а затем подставить его в формулы длины окружности или площади круга.

Радиус \(OA\) и диаметр \(BA\) одной окружности

Длина окружности

Длина окружности — это длина её границы. Число \(\pi\) показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра; в школьных задачах обычно используют \(\pi\approx3{,}14\), если другое значение не указано.

\[C=2\pi r=\pi d\]

Если известна длина окружности \(C\), обратные формулы позволяют восстановить радиус или диаметр.

\[r=\frac{C}{2\pi},\qquad d=\frac{C}{\pi}\]

Правило выбора формулы

Дан радиус — используйте \(C=2\pi r\). Дан диаметр — используйте \(C=\pi d\). Если нужно найти радиус или диаметр по длине окружности, выразите неизвестную величину из соответствующей формулы.

Подробное повторение свойств и способов вычисления есть на странице длине окружности. В комбинированной задаче важно не перепутать длину окружности с площадью круга: длина измеряется в единицах длины, а площадь — в квадратных единицах.

Площадь круга

Площадь круга показывает, сколько места занимает круг внутри своей окружности. Она зависит от квадрата радиуса: увеличение радиуса в \(k\) раз увеличивает площадь в \(k^2\) раз.

\[S=\pi r^2\]

Если дан диаметр, сначала найдите радиус \(r=\frac d2\), а затем возведите его в квадрат. По известной площади можно найти радиус, извлекая квадратный корень.

\[r=\sqrt{\frac{S}{\pi}},\qquad d=2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\]

Связь площади с диаметром

Так как \(r=\frac d2\), формулу площади можно записать и через диаметр: \(S=\pi\left(\frac d2\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}\).

Перед решением полезно повторить тему площади круга: там подробно объясняется, почему в формуле появляется квадрат радиуса.

Проверь себя

Диаметр круга равен \(10\) см. Какая формула сразу даёт его площадь?

Алгоритм шешімдер комбинированных тапсырма

Выпишите, что дано и что требуется найти. Отдельно обозначьте \(r\), \(d\), \(C\) и \(S\).
Проверьте единицы измерения. Если одна величина задана в сантиметрах, а другая — в метрах, приведите их к одной системе.
Найдите радиус или диаметр, если это необходимо: используйте \(d=2r\) немесе \(r=\frac d2\).
Выберите нужную формулу: \(C=2\pi r\) для длины окружности и \(S=\pi r^2\) для площади круга.
Выполните вычисления, не округляя промежуточный результат без необходимости.
Запишите ответ с единицами измерения и проверьте его смысл.

Жылдам контроль

Если радиус равен \(r\), длина окружности примерно равна \(6{,}28r\), а площадь — примерно \(3{,}14r^2\). Это помогает заметить грубую ошибку в вычислениях.

Разобранный пример

№

Тапсырма экзаменационного типа

Колесо имеет длину окружности \(62{,}8\) см. Найдите его радиус, диаметр и площадь круга, ограниченного этим колесом. Считать \(\pi=3{,}14\).

Известна длина окружности, поэтому выразим радиус из формулы \(C=2\pi r\).

\(\displaystyle r=\frac{C}{2\pi}=\frac{62{,}8}{2\cdot3{,}14}=10\ \text{см}\)

Диаметр в два раза больше радиуса.

\(\displaystyle d=2r=2\cdot10=20\ \text{см}\)

Площадь круга вычисляется через квадрат радиуса.

\(\displaystyle S=\pi r^2=3{,}14\cdot10^2=314\ \text{см}^2\)

Жауабы: радиус равен \(10\) см, диаметр — \(20\) см, площадь круга — \(314\ \text{см}^2\). Заметим, что сначала найден радиус: он нужен сразу для двух следующих действий.

Другие типичные преобразования

В условии могут дать площадь и попросить длину окружности. Тогда действия идут в обратном порядке: сначала по площади находят радиус, затем используют формулу длины окружности.

\[S\ \longrightarrow\ r=\sqrt{\frac{S}{\pi}}\ \longrightarrow\ C=2\pi r\]

Если сравнивают два круга, часто достаточно отношения, а не точных вычислений. При радиусах \(r_1\) и \(r_2\) отношение площадей равно отношению квадратов радиусов.

\[\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]

Например, если радиус бір круга в 3 раза больше радиуса другого, его площадь больше в \(9\) раз, а длина окружности — только в 3 раза. Для задач, где круг разделён на части, полезно обратиться к теме сектора и сегмента круга.

Частые ошибки

1. Используют \(d\) вместо \(r\) в формуле \(S=\pi r^2\) и забывают разделить диаметр на 2. 2. Пишут единицы площади как см вместо \(\text{см}^2\). 3. Путают \(2\pi r\) и \(\pi r^2\): первая формула даёт длину, вторая — площадь. 4. Возводят в квадрат только число, но забывают возвести радиус целиком, если он записан дробью. 5. Округляют \(\pi\) или промежуточные значения слишком рано.

В задачах с геометрическими фигурами окружность может быть вписана или описана около фигуры. Тогда сначала определяют, чему равен её радиус, используя свойства описанной окружности немесе вписанной окружности, и только после этого применяют формулы \(C\) и \(S\).

Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · радиус и диаметр

Радиус окружности равен \(7\) см. Чему равен диаметр?

Главное за минуту

Главное

Диаметр в два раза больше радиуса: \(d=2r\).
Длина окружности вычисляется по формулам \(C=2\pi r\) немесе \(C=\pi d\).
Площадь круга вычисляется по формуле \(S=\pi r^2\); при известном диаметре сначала найдите радиус.
Длина измеряется в единицах длины, площадь — в квадратных единицах.
В комбинированной задаче сначала восстановите радиус или диаметр, затем последовательно применяйте нужные формулы.