Алгебраические уравнения
Алгебраическое уравнение — это равенство, содержащее переменную и алгебраические операции над ней: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень. Чтобы решать алгебраические уравнения, нужно определить их вид, учесть область допустимых значений и свести задачу к более простым уравнениям.
Что называют алгебраическим уравнением
Уравнение записывают в виде \(F(x)=G(x)\). Его корнем называют такое значение переменной, при котором обе части уравнения определены и равны. Все корни образуют множество решений уравнения.
Алгебраическое уравнение — равенство \(F(x)=0\), где \(F(x)\) является алгебраическим выражением. Если после упрощения \(F(x)\) становится многочленом, уравнение называют многочленным, или полиномиальным.
Перед преобразованиями проверьте область допустимых значений (ОДЗ). Например, в уравнении с дробью знаменатель не может быть равен нулю, а при наличии чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Подробнее этот случай разобран на странице уравнение с дробями.
Классификация уравнений
Вид уравнения определяет основной способ решения. Сначала стремятся перенести все слагаемые в одну часть и привести выражение к стандартному виду.
| Вид | Стандартный вид | Основной приём |
|---|---|---|
| Линейное | \(ax+b=0\), \(a\ne0\) | Перенести свободный член и разделить на \(a\) |
| Квадратное | \(ax^2+bx+c=0\), \(a\ne0\) | Дискриминант, разложение на множители или теорема Виета |
| Степенное | \(x^n=a\) | Использовать свойства степеней и корней |
| Дробно-рациональное | \(\frac{P(x)}{Q(x)}=0\) | ОДЗ и условие \(P(x)=0\) при \(Q(x)\ne0\) |
| Многочлен степени \(n\) | \(P_n(x)=0\) | Разложение на множители, подбор корней, замена переменной |
Квадратные уравнения подробно рассматриваются в теме решение квадратных уравнений. Для уравнений вида \(x^n=a\) полезна отдельная страница степенное уравнение, а частный случай уравнения четвёртой степени вынесен в тему уравнение четвёртой степени.
Если преобразование сохраняет множество корней, уравнения равносильны. Можно прибавить или вычесть одно и то же выражение из обеих частей, раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. При умножении или делении на выражение с переменной нужно отдельно проверить, что оно не равно нулю.
Общий план решения
- Запишите ОДЗ, если есть знаменатели, корни или другие ограничения.
- Перенесите все слагаемые в одну часть: \(F(x)=0\).
- Раскройте скобки, приведите подобные слагаемые и определите степень уравнения.
- Выберите метод: формула корней квадратного уравнения, разложение на множители, замена переменной, свойства степеней или подбор рационального корня.
- Решите полученные простейшие уравнения.
- Проверьте найденные значения по ОДЗ и подстановкой в исходное уравнение.
Часто многочлен удаётся разложить на множители. Тогда используют свойство произведения: если \(A(x)B(x)=0\), то \(A(x)=0\) или \(B(x)=0\). Для нахождения целых и рациональных кандидатов применяют теорему о рациональных корнях. После нахождения корня можно делить многочлен на линейный множитель по теореме Безу — это особенно удобно для многочленов третьей и более высокой степени.
Если в уравнении встречаются только чётные степени, сделайте замену \(t=x^2\), где \(t\ge0\). Сначала решите уравнение относительно \(t\), затем вернитесь к \(x\) и обязательно учтите условие \(t\ge0\).
Какое условие обязательно добавить при замене \(t=x^2\)?
Разложение на множители и замена переменной
Если общий множитель вынести за скобки, уравнение часто распадается на несколько более простых. Например, \(x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\). Нули многочлена можно изучать через корни многочлена.
При замене переменной важно выписать обратную связь. Если \(t=x^2\), то после решения для \(t\) нужно решить \(x^2=t\). Если \(t<0\), действительных значений \(x\) нет; если \(t=0\), получается один корень; если \(t>0\), получаются два корня \(x=\pm\sqrt t\).
Решим уравнение \(x^4-5x^2+4=0\). Это биквадратное уравнение: в нём присутствуют степени \(x^4\) и \(x^2\).
Проверка и типичные ошибки
Проверка особенно важна после возведения обеих частей в квадрат, умножения на выражение с переменной или замены переменной. Такие действия могут привести к посторонним корням или к потере условия.
1. Умножение на знаменатель без записи ОДЗ: найденное значение может обнулить знаменатель. 2. Из \(x^2=a\) записывают только \(x=\sqrt a\), забывая корень \(x=-\sqrt a\). 3. При сокращении на \(x\) теряют случай \(x=0\). 4. После замены \(t=x^2\) принимают отрицательное значение \(t\). 5. Решив преобразованное уравнение, не проверяют ответы в исходном.
Корень, полученный после преобразований, считается решением только после проверки ОДЗ и исходного уравнения.
Быстрая самопроверка
Проверь себя
Итоги
- Алгебраическое уравнение решают через определение вида и приведение к стандартному виду \(F(x)=0\).
- ОДЗ записывают до преобразований, если в уравнении есть знаменатели, корни или другие ограничения.
- Основные методы: разложение на множители, решение квадратного уравнения, замена переменной, свойства степеней и подбор корней.
- После решения нужно проверить все ответы в исходном уравнении.
- При замене \(t=x^2\) обязательно учитывать \(t\ge0\) и не забывать оба знака при извлечении квадратного корня.