Оценка алгебраического выражения
Оценка алгебраического выражения помогает определить, в каких пределах находится его значение, или быстро получить его приближённое значение. Для этого сравнивают исходные числа с удобными границами и используют свойства неравенств.
Что означает оценить выражение
Пусть требуется оценить значение выражения \(E\). Это означает не обязательно вычислить его точно, а установить границы, между которыми оно находится: например, \(3<E<4\). Иногда нужно найти приближённое значение с указанной точностью: до целых, десятых или сотых.
Оценкой выражения называют нахождение одного или нескольких чисел, сравнимых с его значением. Запись \(a<E<b\) означает, что выражение \(E\) больше \(a\) и меньше \(b\).
Оценку используют, когда точное вычисление громоздко, в условии требуется выбрать подходящий ответ или нужно проверить разумность уже выполненного вычисления. Перед преобразованиями полезно вспомнить знак значения выражения и ограничения на переменные.
Основные правила сравнения
Самый простой способ — заменить число или часть выражения близкими удобными значениями. Например, \(19,8\) можно оценить как число между \(19\) и \(20\), а \(\sqrt{50}\) — как число между \(\sqrt{49}\) и \(\sqrt{64}\), то есть между \(7\) и \(8\).
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак неравенства не изменится. При умножении или делении на положительное число знак также сохраняется, а при умножении или делении на отрицательное число меняется на противоположный. При возведении в квадрат нужно учитывать знаки сравниваемых чисел.
Если все величины неотрицательны и \(a<b\), то можно возвести обе части в квадрат: \(a^2<b^2\). Обратное рассуждение требует осторожности: из \(a^2<b^2\) не всегда следует \(a<b\), потому что, например, \(-5<2\), но \((-5)^2>2^2\).
- При сложении границы складывают: если \(a<x<b\) и \(c<y<d\), то \(a+c<x+y<b+d\).
- При умножении положительных величин границы перемножают: если \(0<a<x<b\) и \(0<c<y<d\), то \(ac<xy<bd\).
- Для дроби сначала определяют знак знаменателя и проверяют, не содержит ли он нуля.
- Для корня используют монотонность: при \(0\le a<b\) выполняется \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\).
Оценка корней и степеней
Чтобы оценить квадратный корень, находят соседние полные квадраты. Например, \(49<52<64\), поэтому \(7<\sqrt{52}<8\). Для более точной оценки берут десятичные квадраты: \(7,2^2=51,84\), а \(7,3^2=53,29\), значит \(7,2<\sqrt{52}<7,3\).
При оценке степеней удобно сравнивать основание с близкими числами. Если основания положительны, то при натуральном показателе \(n\) большему основанию соответствует большая степень. Например, из \(2<x<3\) следует \(8<x^3<27\).
Для оценки выражения с корнем сначала заключите подкоренное выражение между квадратами. Для выражения со степенью замените основание границами, а затем возведите границы в нужную степень.
Какое утверждение верно?
Оценка суммы, произведения и дроби
Для суммы или разности оценивают каждое слагаемое, а затем объединяют границы. Например, если \(2<x<3\) и \(5<y<6\), то \(7<x+y<9\). Для разности важно вычитать границы в правильном порядке: \(2-6<x-y<3-5\), то есть \(-4<x-y<-2\).
Для произведения сначала определяют знаки множителей. Если оба множителя положительны, достаточно перемножить наименьшие и наибольшие границы. Если знаки разные или меняются, нужно сравнить все возможные произведения концов промежутков.
Для дроби с положительным знаменателем удобно оценить числитель сверху и снизу, а знаменатель — с учётом того, что при делении на большее положительное число результат меньше. Например, если \(4<a<5\) и \(2<b<3\), то \(\frac{4}{3}<\frac{a}{b}<\frac{5}{2}\).
Нельзя без проверки перемножать верхние границы, если множители могут быть отрицательными. Нельзя делить неравенство на выражение с неизвестным знаком. При делении на отрицательное число знак меняется. Также ошибочно считать, что \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\): это равенство обычно неверно.
Разобранный пример: оценка выражения
Оценим выражение \(E=\dfrac{\sqrt{52}+\sqrt{18}}{\sqrt{50}}\) с точностью до десятых, не выполняя точного вычисления корней.
Найдём десятичные границы для каждого корня, затем оценим числитель и знаменатель. Все корни положительны, поэтому при делении границы нужно расположить особенно внимательно.
Следовательно, \(E\) находится примерно между \(1,58\) и \(1,65\). Если требуется значение с точностью до десятых, можно записать \(E\approx1,6\). Более точный ответ получают, сужая промежутки для корней.
Оценка даёт не одно точное число, а промежуток. Запись \(E\approx1,6\) означает, что число \(1,6\) выбрано как удобное приближение, а не что исходное выражение равно ему абсолютно точно.
Алгоритм и контроль результата
- Определите знак выражения и допустимые значения переменных.
- Замените сложные числа удобными границами.
- Примените правила действий с неравенствами, учитывая знаки.
- Получите промежуток для всего выражения.
- Если требуется приближение, округлите число, лежащее внутри найденного промежутка.
Полезно проверять ответ оценкой порядка. Если числитель около \(12\), а знаменатель около \(7\), дробь должна быть около \(1,7\), а не около \(17\) или \(0,17\). Для точного вычисления и преобразования выражений можно обратиться к странице вычисление значения алгебраического выражения, а при упрощении радикалов — к сложению и вычитанию радикалов и упрощению дробей с корнями.
Быстрая проверка
Главное
- Оценка выражения — это нахождение его границ или приближённого значения без обязательного точного вычисления.
- Для корня ищут соседние полные квадраты и используют возрастание квадратного корня на неотрицательной полуоси.
- При действиях с неравенствами обязательно учитывают знак множителя или делителя.
- Для дробей с переменными сначала проверяют знак знаменателя и область допустимых значений.
- После оценки полезно проверить порядок ответа и округлить его только в соответствии с требуемой точностью.