Округление и абсолютная погрешность
Округление заменяет число близким и более удобным значением. Чтобы оценить, насколько такая замена точна, используют абсолютную погрешность — расстояние между точным и приближённым значениями.
Округление числа
При округлении число заменяют другим числом с меньшим количеством значащих цифр или десятичных знаков. Сначала выбирают разряд, до которого округляют, а затем смотрят на следующую цифру: если она равна 0, 1, 2, 3 или 4, последнюю сохраняемую цифру не изменяют; если она равна 5, 6, 7, 8 или 9, последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.
Округление до некоторого разряда — это замена числа ближайшим числом, запись которого заканчивается в выбранном разряде. Полученное число называют округлённым или приближённым.
Например, при округлении \(7{,}386\) до сотых сохраняются цифры \(7{,}38\), а следующая цифра — \(6\), поэтому получаем \(7{,}39\). При округлении \(7{,}384\) до сотых следующая цифра равна \(4\), поэтому результат — \(7{,}38\).
Округление до десятков, сотен и других целых разрядов выполняют по тому же правилу. Например, \(1847\approx 1850\) при округлении до десятков, а \(1847\approx 1800\) при округлении до сотен. Полезно повторить правила модуля числа, потому что абсолютная погрешность использует расстояние между числами, а не их взаимное положение на числовой прямой.
Абсолютная погрешность
Пусть \(a\) — точное значение величины, а \(\tilde a\) — её приближённое значение. Разность \(\tilde a-a\) называют абсолютной ошибкой с учётом знака. Для оценки размера ошибки берут её модуль.
Абсолютная погрешность приближённого значения \(\tilde a\) числа \(a\) — это число \(|a-\tilde a|\). Она показывает, на сколько единиц приближённое значение отличается от точного.
Абсолютная погрешность не может быть отрицательной. Если точное значение неизвестно, но известно, что число округлили по правилам, обычно находят не саму погрешность, а её наибольшее возможное значение — оценку погрешности.
Если число округлено до единиц некоторого разряда, то абсолютная погрешность не превосходит половины единицы следующего разряда. При обычном округлении граница достигается только в предельном случае, поэтому для конкретного числа часто получается строгое неравенство.
Если округляют до целых, шаг равен \(1\), значит, \(|a-\tilde a|\leq 0{,}5\). До десятых шаг равен \(0{,}1\), поэтому погрешность не больше \(0{,}05\). До сотых шаг равен \(0{,}01\), поэтому погрешность не больше \(0{,}005\).
| До какого разряда округляют | Шаг соседних значений | Максимальная абсолютная погрешность |
|---|---|---|
| Единицы | \(1\) | \(0{,}5\) |
| Десятые | \(0{,}1\) | \(0{,}05\) |
| Сотые | \(0{,}01\) | \(0{,}005\) |
| Десятки | \(10\) | \(5\) |
| Сотни | \(100\) | \(50\) |
Как связать округление и погрешность
Главная идея: после округления до определённого разряда все исходные числа, которые дают один и тот же результат, лежат в промежутке вокруг этого результата. Для округлённого значения \(\tilde a\) до шага \(h\) такой промежуток имеет длину \(h\), а расстояние от центра до каждого конца равно \(h/2\).
Например, если результат округления до десятых равен \(3{,}7\), то исходное число находится в промежутке от \(3{,}65\) до \(3{,}75\) с учётом принятого правила для пограничных значений. Поэтому можно сразу утверждать: \(|a-3{,}7|\leq 0{,}05\).
До какого разряда округлили число, если его абсолютная погрешность не превосходит \(0{,}005\)?
Разобранный пример
Число \(\sqrt{7}\) округлили до сотых. Найдите абсолютную погрешность полученного приближённого значения, если считать \(\sqrt7\approx2{,}65\).
Если в условии требуется не точная погрешность, а её гарантированная оценка, достаточно написать \(\Delta\leq0{,}005\). Если дано само точное число, например \(12{,}347\), округлённое до сотых значение равно \(12{,}35\), и погрешность можно найти точно: \(|12{,}347-12{,}35|=0{,}003\).
1. Путают разряд округления и следующую цифру: до сотых смотрят на цифру тысячных. 2. Записывают погрешность со знаком. Абсолютная погрешность всегда неотрицательна. 3. Берут половину не того шага: при округлении до десятков шаг равен \(10\), а максимальная погрешность — \(5\), не \(0{,}5\). 4. Забывают нули в записи: \(4{,}5\) и \(4{,}50\) обозначают одно число, но показывают разную точность записи.
Сначала выпишите шаг округления \(h\), затем разделите его на два. Это быстро даёт границу абсолютной погрешности. Для выбора ответа в экзаменационной задаче часто не требуется вычислять исходное число полностью.
Связь с другими представлениями чисел
При работе с дробями сначала может понадобиться переход от дроби к десятичной записи. Если десятичная дробь бесконечна и периодична, используйте запись периода и округляйте только после определения нужного разряда; см. периодическую десятичную дробь. Для целых результатов полезна координатная прямая: абсолютная погрешность — это расстояние между точками точного и приближённого значений.
Округление до целого связано с понятием круглого числа: круглое число удобно для счёта, но оно может быть лишь приближением. В задачах на натуральные величины также важно проверить, должен ли ответ быть целым; свойства таких чисел разобраны на странице свойства натуральных чисел.
Быстрая проверка
Главное
- Округление заменяет число ближайшим значением с выбранным последним разрядом.
- Абсолютная погрешность приближённого значения равна \(|a-\tilde a|\).
- При округлении с шагом \(h\) абсолютная погрешность не превосходит \(h/2\).
- Для десятых, сотых и тысячных максимальные погрешности равны соответственно \(0{,}05\), \(0{,}005\) и \(0{,}0005\).
- В задаче сначала определите разряд округления и шаг, затем найдите половину шага или вычислите модуль разности точно.