Свойства натуральных чисел

Свойства натуральных чисел описывают порядок чисел \(1, 2, 3, \ldots\), роль нуля и правила сложения, вычитания, умножения и деления. Они помогают правильно сравнивать числа и преобразовывать выражения.

Основные свойства

У каждого натурального числа есть следующее: после \(n\) идёт число \(n+1\). Между двумя соседними натуральными числами нет другого натурального числа. Любые два натуральных числа можно сравнить: одно из них меньше другого или они равны. Натуральный ряд бесконечен и начинается с единицы.

• При сложении и умножении натуральных чисел результат снова является натуральным числом: \(a+b\in\mathbb{N}\) и \(a\cdot b\in\mathbb{N}\).
• Вычитание натуральных чисел не всегда даёт натуральное число: \(3-5=-2\). Оно остаётся натуральным, если уменьшаемое не меньше вычитаемого.
• Деление натуральных чисел не всегда выполняется без остатка и не всегда даёт натуральное частное.

Сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами: \(a+b=b+a\), \((a+b)+c=a+(b+c)\), \(a\cdot b=b\cdot a\), \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\). Умножение распределяется относительно сложения: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\). Ноль является нейтральным элементом сложения: \(a+0=a\), а единица — нейтральным элементом умножения: \(a\cdot1=a\).