Переход от дроби к десятичной записи
Обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной: для этого числитель делят на знаменатель. Результат бывает конечным или бесконечной периодической десятичной дробью — это зависит от простых множителей знаменателя после сокращения дроби.
1. Основной способ: деление числителя на знаменатель
Сначала вспомним устройство обыкновенной дроби: в записи \(\frac{a}{b}\) число \(a\) называют числителем, а число \(b\ne0\) — знаменателем. Чтобы перейти к десятичной записи, нужно выполнить деление \(a:b\). Если деление заканчивается, получается конечная десятичная дробь. Если остатки начинают повторяться, цифры в частном тоже повторяются.
Конечная десятичная дробь — это десятичная дробь, у которой после запятой имеется конечное число цифр: \(0{,}5\), \(2{,}75\), \(-0{,}125\). Нули справа можно дописывать или удалять: \(0{,}5=0{,}50=0{,}500\).
Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр повторяются начиная с некоторого места. Например, \(\frac13=0{,}(3)=0{,}333\ldots\), а \(\frac{5}{12}=0{,}41(6)=0{,}41666\ldots\). Повторяющуюся группу цифр называют периодом и записывают в скобках.
При обычном письменном делении, если числитель меньше знаменателя, перед делением ставят \(0\), в частном — запятую, а к остатку приписывают ноль. Каждый новый остаток даёт следующую цифру десятичной записи. Если остаток стал равен нулю, запись конечна. Если встретился остаток, который уже был, дальнейшие цифры будут повторяться.
2. Как заранее определить вид записи
Деление подходит всегда, но иногда вид результата можно определить быстрее. Сначала дробь нужно сократить, используя правила сокращения дробей. Затем разложить знаменатель на простые множители.
Несократимая дробь \(\frac{a}{b}\) имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда знаменатель \(b\) не содержит простых множителей, кроме \(2\) и \(5\). Иными словами, знаменатель имеет вид \(2^m5^n\), где \(m\) и \(n\) — неотрицательные целые числа.
Если после сокращения в знаменателе остаётся хотя бы один другой простой множитель, например \(3\), \(7\) или \(11\), десятичная запись будет бесконечной периодической. Поэтому \(\frac{7}{20}\) конечна, так как \(20=2^2\cdot5\), а \(\frac{5}{14}\) периодична, так как \(14=2\cdot7\).
Если знаменатель состоит только из множителей \(2\) и \(5\), домножьте числитель и знаменатель так, чтобы знаменатель стал степенью десяти. Например, \(40\) нужно домножить на \(25\): \(40\cdot25=1000\).
| Знаменатель после сокращения | Вид десятичной записи | Пример |
|---|---|---|
| \(2^m5^n\) | конечная | \(\frac{3}{40}=0{,}075\) |
| содержит \(3\), \(7\), \(11\) и другие простые множители | бесконечная периодическая | \(\frac{2}{7}=0{,}(285714)\) |
| \(1\) | целое число | \(\frac{9}{1}=9\) |
Какая дробь после сокращения имеет конечную десятичную запись?
3. Перевод дроби в конечную десятичную запись
Алгоритм удобен для дробей, знаменатель которых после сокращения имеет вид \(2^m5^n\).
- Сократите дробь, если это возможно.
- Разложите знаменатель на множители \(2\) и \(5\) или подберите множитель, превращающий знаменатель в \(10\), \(100\), \(1000\) и так далее.
- Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число.
- Запишите полученную дробь как десятичную.
Знаменатель \(40=2^3\cdot5\). Чтобы получить \(1000\), домножим на \(25: 40\cdot25=1000\). Тогда \(\frac{13}{40}=\frac{13\cdot25}{40\cdot25}=\frac{325}{1000}=0{,}325\).
Тот же результат можно получить делением \(13:40\). Если числитель или результат отрицательный, сначала выполняют деление с модулями, а затем ставят знак «минус», руководствуясь правилами знаков при действиях.
4. Перевод дроби в периодическую запись
Если в сокращённом знаменателе есть простой множитель, отличный от \(2\) и \(5\), конечная запись невозможна. Тогда выполняют деление до появления повторяющегося остатка. Период начинают записывать с первой цифры, которая повторяется циклически.
Дробь несократима, а \(12=2^2\cdot3\), поэтому запись будет периодической. Выполним деление: \(5:12=0{,}41666\ldots\). Цифра \(6\) повторяется, значит, \(\frac{5}{12}=0{,}41(6)\).
Иногда период начинается сразу после запятой: \(\frac27=0{,}(285714)\). Иногда перед периодом есть неповторяющаяся часть: \(\frac{5}{12}=0{,}41(6)\). Нельзя заключать в скобки только одну случайно повторившуюся цифру, если повторяется более длинная группа.
5. Важные случаи и проверка результата
Целые числа можно рассматривать как дроби со знаменателем \(1\): \(7=\frac71=7{,}0\). Неправильная дробь сначала может быть представлена смешанным числом, но для десятичной записи удобнее сразу разделить числитель на знаменатель. Например, \(\frac{17}{4}=4{,}25\).
Проверить перевод можно обратным действием: умножить полученную десятичную запись на знаменатель. Для периодических дробей полезно сравнить первые несколько цифр с результатом деления или воспользоваться преобразованием периодической дроби в обыкновенную, если это требуется в задаче.
1. Не сокращают дробь перед определением вида записи: у дроби \(\frac{6}{15}\) знаменатель 15 содержит множитель 3, но после сокращения получается \(\frac25=0{,}4\). 2. Теряют ноль перед запятой: правильно \(0{,}25\), а не \(,{25}\). 3. Неверно определяют период: в \(0{,}12(3)\) периодом является только \(3\). 4. Забывают знак минус. 5. При домножении изменяют только знаменатель — числитель тоже нужно умножить на то же число.
Сначала сократи дробь. Если в знаменателе остались только \(2\) и \(5\), запись конечная; если остался другой простой множитель, запись бесконечная периодическая.
6. Quick-test
Проверь себя
Кратко
- Переход к десятичной записи — это деление числителя на знаменатель.
- После сокращения дробь имеет конечную запись тогда и только тогда, когда её знаменатель содержит только множители \(2\) и \(5\).
- При конечной записи удобно домножить дробь до знаменателя \(10\), \(100\), \(1000\) и так далее.
- Если появляется повторяющийся остаток, десятичная дробь бесконечная периодическая; повторяющиеся цифры заключают в скобки.
- Перед ответом проверь сокращение, положение запятой, знак и правильность периода.