Задания № 1, 3 · ЕГЭ

Периодическая десятичная дробь

Десятичная запись рационального числа с бесконечно повторяющимся периодом

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Периодическая десятичная дробь — это десятичная запись рационального числа, в которой после запятой бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Повторяющуюся группу называют периодом.

Периодическая десятичная дробьСлово «период» означает повторяющийся промежуток или цикл.

Бесконечная десятичная дробь, в записи которой начиная с некоторого места регулярно повторяется конечная последовательность цифр. Период записывают в круглых скобках: \(0,(3)=0,333\ldots\), \(1,2(45)=1,2454545\ldots\).

Виды периодических дробей

Если повторение начинается сразу после запятой, дробь называют чисто периодической: \(0,(7)\) или \(2,(18)\). Если перед периодом есть неповторяющиеся цифры, дробь называют смешанной периодической: \(0,1(6)\) или \(3,25(4)\). Неповторяющуюся часть называют предпериодом.

\[0,(a)=0,aaaa\ldots,\qquad 1,2(45)=1,2454545\ldots\]

№

Пример

Запись \(0,(27)\) означает \(0,272727\ldots\): период равен \(27\), его длина — две цифры. Запись \(0,2(7)\) означает \(0,27777\ldots\): цифра \(2\) относится к предпериоду, а период равен \(7\).

Не путайте

Десятичная дробь может быть конечной или бесконечной. Периодическая дробь всегда бесконечна в записи, но её период повторяется; поэтому она является рациональным числом. Конечная дробь вроде \(0,25\) не считается периодической в обычной школьной записи, хотя её можно представить как \(0,25000\ldots\).

Связь с обыкновенной дробью

Любое рациональное число при переходе от дроби к десятичной записи даёт конечную или периодическую дробь. Период появляется, если при делении числителя на знаменатель остатки начинают повторяться. Обратно, любую периодическую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби.

Проверьте себя

Как записывается десятичная дробь \(0,363636\ldots\) с помощью периода?

Главное за минуту

Главное

Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная запись с повторяющейся группой цифр.
Период записывают в круглых скобках; повторение может начинаться сразу после запятой или после предпериода.
Периодическая десятичная дробь представляет рациональное число.