ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 1, 10, 12, 16 · ОГЭ

Санау жүйелері: Шешім тапсырма

Как выбрать способ шешімдер, выполнить вычисления и проверить ответ в задачах на системы счисления
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Задачи на системы счисления проверяют не только умение переводить числа, но и способность выбрать удобный способ решения. Сначала определите, что требуется найти, затем работайте с разрядами и основаниями систем, а в конце обязательно проверьте результат.

1. Как распознать тип тапсырма

Прочитайте условие и выпишите все известные величины: основания систем счисления, записи чисел, выполняемые действия и требуемый результат. Особое внимание обращайте на неизвестное основание \(p\) немесе \(q\): в таких задачах число нужно представить как сумму разрядных единиц, а затем составить уравнение.

  1. Перевод числа. Если основание исходной или целевой системы известно, используйте перевод в десятичную систему немесе перевод из десятичной системы.
  2. Арифметическое действие. Сложение и вычитание выполняйте в одной системе, учитывая основание переноса; при необходимости заранее переведите числа в десятичную систему. Подробнее о сложении см. сложение в системах счисления.
  3. Неизвестное основание. Запишите число через степени основания и решите полученное уравнение с ограничениями на цифры.
  4. Сравнение. Сначала выясните, одинаковы ли основания. Для разных систем используйте сравнение чисел в разных системах, для одинаковых — сравнение чисел в одной системе.
  5. Количество разрядов или диапазон. Используйте сведения о числе разрядов, минимальном числе и максимальном числе в системе счисления.
D
Система счисления

Система счисления с основанием \(p\) использует цифры от \(0\) до \(p-1\). Значение цифры зависит от её позиции: справа налево разрядные единицы равны \(p^0,p^1,p^2,\ldots\). Основание всегда больше любой цифры, встречающейся в жазбалар числа.

\[(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0)_p=a_n\cdot p^n+a_{n-1}\cdot p^{n-1}+\ldots+a_1\cdot p+a_0\]

Например, жазба \((2301)_4\) означает \(2\cdot4^3+3\cdot4^2+0\cdot4+1\). Это применение разрядных единиц. Для целой жазбалар полезно мысленно построить разрядную сетку: под каждой цифрой укажите соответствующую степень основания.

2. Универсальный алгоритм шешімдер

В большинстве экзаменационных задач подходит один и тот же порядок действий. Не начинайте вычисления, пока не определили основание каждой записи и смысл неизвестного.

  1. Определите допустимые цифры. Если в жазбалар есть цифра \(7\), основание не может быть меньше \(8\): \(p\ge8\).
  2. Выберите опорную систему. Обычно проще всего перевести все числа в десятичную систему, но при сравнении близких записей иногда удобнее сравнивать разряды непосредственно.
  3. Раскройте жазбалар. Замените каждое число суммой цифр, умноженных на степени основания.
  4. Выполните действие. Решите уравнение, сложите значения или сравните получившиеся числа.
  5. Переведите ответ в требуемую систему. Для перевода из десятичной системы используйте последовательное деление на основание с чтением остатков снизу вверх.
  6. Проверьте результат. Подставьте основание обратно, выполните обратный перевод или оцените ответ по числу разрядов и старшей цифре.
T
Главное правило проверки

Одна и та же величина, вычисленная двумя способами, должна иметь одинаковое значение. Если результат получен переводом, проверьте его обратным переводом; если найдено основание — подставьте его в исходное равенство.

\[a_0+a_1p+a_2p^2+\ldots+a_np^n=N\]

3. Неизвестное основание: разобранный пример

Рассмотрим типичную тапсырманы: найдите основание \(p\), если \((132)_p=48_{10}\). В жазбалар присутствуют цифры \(1\), \(3\) и \(2\), поэтому сразу получаем ограничение \(p\ge4\).

1
Раскрываем трёхзначную жазба по разрядам.
\(\displaystyle (132)_p=1\cdot p^2+3\cdot p+2\)
2
По условию значение жазбалар равно 48.
\(\displaystyle p^2+3p+2=48\)
3
Переносим 48 в левую часть.
\(\displaystyle p^2+3p-46=0\)
4
Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен \(9+184=193\). Он не является квадратом целого числа.
\(\displaystyle p=\frac{-3\pm\sqrt{193}}{2}\)
5
Основание позиционной системы обычно является целым числом, а найденные корни нецелые. Следовательно, такого основания не существует.
\(\displaystyle p\notin\mathbb{N},\quad p\ge4\)
№
Как заметить невозможность быстрее

Можно проверить основания без полного шешімдер уравнения. При \(p=4\) число \((132)_4=1\cdot16+3\cdot4+2=30\), а при \(p=5\) оно равно \(42\). При \(p=6\) получаем \(56\). Значение 48 между соседними значениями и не достигается при целом основании. Такой способ полезен для проверки.

Микропроверка

Какое ограничение на основание \(p\) следует из жазбалар \((507)_p\)?

4. Перевод и вычисления без ошибок

При переводе в десятичную систему не смешивайте цифры и степени. Сначала выпишите разряды справа налево, начиная с нулевой степени, затем перемножьте и сложите. Например, \((241)_5=2\cdot5^2+4\cdot5+1=71_{10}\).

При переводе десятичного числа в систему с основанием \(p\) делите число на \(p\), записывая остаток. Частное снова делите на \(p\), пока оно не станет нулём. Остатки читаются снизу вверх. Остаток обязан находиться в диапазоне от \(0\) до \(p-1\).

Сложение в системе с основанием \(p\) выполняется справа налево. Если сумма в разряде не меньше \(p\), записывают остаток от деления на \(p\), а единицу переноса добавляют в следующий разряд. Полезно пользоваться цифровой записью числа и не допускать появления цифры, недопустимой для данной системы.

\[a+b=qp+r,\qquad 0\le r<p\]

Здесь \(r\) — цифра текущего разряда, а \(q\) — перенос в следующий разряд. Например, в пятеричной системе \(4+3=7=1\cdot5+2\): записываем \(2\), переносим \(1\).

!
Частые ошибки

1. Основание принимают за значение разряда: в \((101)_2\) средняя цифра умножается на \(2^1\), а не на 2 «сама по себе». 2. Читают остатки при переводе в прямом порядке, хотя их нужно читать снизу вверх. 3. Забывают проверить цифры: запись \((128)_8\) невозможна из-за цифры 8. 4. Сравнивают записи по цифрам, хотя основания различаются. 5. При поиске основания оставляют нецелый или недопустимый корень.

5. Проверка ответа и оценка результата

Проверка должна быть короткой, но содержательной. Для перевода \((1101)_2=13_{10}\) можно выполнить обратный перевод: \(13=8+4+1\), значит двоичная жазба действительно \(1101_2\).

  • Проверьте, что основание больше каждой цифры жазбалар.
  • Оцените порядок числа: четырёхзначная жазба в системе с основанием \(p\) имеет значение от \(p^3\) до \(p^4-1\).
  • Для неизвестного основания подставьте найденное значение в исходное условие.
  • После сложения проверьте результат переводом всей жазбалар в десятичную систему.
  • Если ответ выбирается из вариантов, сначала отбросьте варианты с невозможными цифрами или неподходящим диапазоном.
Приём для больших Жазбалар

Вместо вычисления степеней по отдельности используйте схему Горнера: \((a_na_{n-1}\ldots a_0)_p=((a_np+a_{n-1})p+a_{n-2})p+\ldots+a_0\). Она уменьшает число операций и снижает риск ошибки.

\[(a_na_{n-1}\ldots a_0)_p=(((a_np+a_{n-1})p+a_{n-2})p+\ldots)p+a_0\]
Q
Жылдам тест по теме

Итоговая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · перевод
Какое значение имеет \((203)_4\) в десятичной системе?
Главное за минуту

Главное

  • Сначала определите тип тапсырма, основания систем и допустимые цифры.
  • Запись \((a_na_{n-1}\ldots a_0)_p\) раскрывается как сумма цифр, умноженных на степени \(p\).
  • Неизвестное основание ищут из уравнения, но затем обязательно проверяют его целочисленность и допустимость.
  • При переводе в систему с основанием \(p\) остатки от деления читают снизу вверх.
  • Проверяйте ответ обратным переводом, подстановкой и оценкой диапазона числа.