Минимальное число в системе счисления
Минимальное число заданной длины в позиционной системе счисления получают так: в старшем разряде ставят минимальную ненулевую цифру, а во всех остальных — нули. В системе с основанием \(b\) наименьшее \(n\)-разрядное число равно \(b^{n-1}\).
Правило
В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её разряда. Поэтому в \(n\)-разрядной записи старший разряд должен быть занят ненулевой цифрой: иначе запись начиналась бы с нуля и имела бы меньше разрядов. Минимальная ненулевая цифра — \(1\), а минимальные цифры во всех остальных разрядах — \(0\). Важно учитывать старший разряд: именно он определяет длину записи.
Здесь \(b\) — основание системы счисления, а \(n\) — количество разрядов. Формула также означает запись \(1\) и \(n-1\) нулей: \(100\ldots0_b\).
Найдём минимальное пятиразрядное число в восьмеричной системе. Основание \(b=8\), количество разрядов \(n=5\): \(N_{\min}=8^{5-1}=8^4=4096\). В самой системе это записывается как \(10000_8\).
Число \(0\) является наименьшим числом в системе, но оно не является пятиразрядным. Запись \(00000_8\) обычно сокращают до \(0_8\), поэтому она не считается записью с пятью разрядами. Также не следует путать минимальное число с максимальным числом в системе счисления.
Каково минимальное четырёхразрядное число в шестнадцатеричной системе?
Главное
- Минимальное \(n\)-разрядное число в системе с основанием \(b\) равно \(b^{n-1}\).
- Его запись начинается с цифры \(1\), остальные разряды занимают нули.
- Начальные нули не увеличивают количество разрядов числа.