Задание № 1 · ОГЭ

Максимальное число в системе счисления

Как найти наибольшее число заданной длины в системе счисления

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Наибольшее число длиной \(n\) разрядов в системе счисления с основанием \(b\) состоит из \(n\) цифр, каждая из которых равна \(b-1\). Поэтому оно равно \(b^n-1\).

Максимальное число заданной длины в позиционной системе счисления — это наибольшее число, которое можно записать ровно \(n\) разрядами в системе с основанием \(b\). Во всех его разрядах записывается наибольшая допустимая цифра \(b-1\). В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её положения, поэтому старший разряд имеет наибольший вес; перед применением правила полезно повторить понятие старшего разряда.

Формула

\[N_{\max}=b^n-1\]

Здесь \(b\) — основание системы счисления, а \(n\) — число разрядов. Формула верна для целого основания \(b\ge 2\) и положительного числа разрядов \(n\). Её можно понять так: число из \(n\) единиц в разрядной записи имеет максимальное значение, если заменить каждую единицу на цифру \(b-1\). Получается запись \((b-1)(b-1)\ldots(b-1)_b\).

№

Пример

Найдём максимальное четырёхразрядное число в восьмеричной системе. Основание \(b=8\), число разрядов \(n=4\). По формуле \(N_{\max}=8^4-1=4096-1=4095\). В восьмеричной записи это \(7777_8\).

Не путайте

Число \(b-1\) — это только наибольшая цифра системы, а не максимальное число любой длины. Например, в двоичной системе наибольшая цифра равна \(1\), но максимальное четырёхразрядное число — \(1111_2\), то есть \(2^4-1=15\).

Проверьте себя

Каково максимальное трёхразрядное число в шестнадцатеричной системе?

Другой способ запомнить правило: максимальное \(n\)-разрядное число на единицу меньше числа \(b^n\). Число \(b^n\) записывается как единица и \(n\) нулей, то есть ему нужен ещё один разряд. При решении задач сначала определите основание и количество разрядов, затем подставьте их в формулу.

Главное за минуту

Главное

Максимальная цифра в системе с основанием \(b\) равна \(b-1\).
Максимальное число из \(n\) разрядов равно \(b^n-1\) и записывается цифрой \(b-1\) во всех разрядах.
Не путайте максимальную цифру системы с максимальным числом заданной длины.