Задания № 1, 14 · ЕГЭ

Модулярное представление числа

Как находить остатки и последние цифры без полного вычисления числа

5 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Модулярное представление позволяет заменять большие числа их остатками при делении на выбранный модуль. Это особенно полезно, когда требуется найти последнюю цифру, несколько последних цифр или остаток от большой степени, не вычисляя само число полностью.

Основная идея арифметики по модулю

Сначала вспомним понятие остатка по модулю. Если при делении целого числа $a$ на натуральное число $m$ получается остаток $r$, то записывают $a \equiv r \pmod m$. Это читается: «число $a$ сравнимо с числом $r$ по модулю $m$».

Модульное сравнение

Запись $a \equiv b \pmod m$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на $m$. Равносильное условие: разность $a-b$ делится на $m$.

\[a \equiv b \pmod m \quad \Longleftrightarrow \quad m\mid(a-b)\]

Например, $47 \equiv 2 \pmod 5$, потому что $47-2=45$ делится на $5$. В модулярных вычислениях можно заменять число на любое сравнимое с ним число, обычно выбирая небольшой неотрицательный остаток.

Действия с сравнениями

Если $a \equiv b \pmod m$ и $c \equiv d \pmod m$, то можно складывать, вычитать и умножать сравнения: $a+c \equiv b+d$, $a-c \equiv b-d$, $ac \equiv bd \pmod m$. Также $a^n \equiv b^n \pmod m$ для натурального $n$.

\[(a+b)\bmod m=((a\bmod m)+(b\bmod m))\bmod m\]

\[(ab)\bmod m=((a\bmod m)(b\bmod m))\bmod m\]

Последние цифры как остаток

Последняя цифра десятичного числа — это остаток при делении на $10$. Две последние цифры — остаток при делении на $100$, три последние — при делении на $1000$. Поэтому задача о последних цифрах превращается в задачу о сравнении по соответствующему модулю.

\[\text{последняя цифра }N=N\bmod 10\]

\[\text{k последних цифр }N=N\bmod 10^k\]

В другой системе счисления основание играет такую же роль. Последняя цифра числа в системе с основанием $p$ определяется остатком по модулю $p$, а последние $k$ цифр — остатком по модулю $p^k$. Это связано с признаком делимости на основание и разрядной записью числа.

Практический приём

После нахождения остатка по модулю $10^k$ записывайте его с ведущими нулями. Например, остаток $7$ по модулю $100$ означает две последние цифры $07$, а не однозначное число «7».

Степени: периодичность остатков

При возведении числа в последовательные степени остатки часто повторяются. Чтобы найти последнюю цифру $a^n$, выписывают несколько первых степеней по модулю $10$, находят период и определяют место показателя $n$ внутри периода.

Основание	Последние цифры степеней	Период
2	2, 4, 8, 6	4
3	3, 9, 7, 1	4
4	4, 6	2
5	5, 5, 5, …	1
6	6, 6, 6, …	1
7	7, 9, 3, 1	4
8	8, 4, 2, 6	4
9	9, 1	2

Если период равен $T$, показатель можно заменить его остатком при делении на $T$. Но если этот остаток равен нулю, берут последний элемент периода, то есть используют номер $T$.

\[a^{n+T}\equiv a^n\pmod m\]

Микропроверка

Чему равна последняя цифра числа $7^{2025}$?

Разобранный пример

Найдём две последние цифры числа $3^{2024}+7^{2024}$.

№

Решение по шагам

Работаем по модулю $100$, потому что нужны две последние цифры. Остатки степеней нужно рассматривать именно по модулю $100$, а не по модулю $10$.

Для $3^{2024}$ найдём несколько степеней по модулю $100 и заметим период.

$\displaystyle 3^1\equiv3,\quad 3^2\equiv9,\quad 3^4\equiv81,\quad 3^5\equiv43,\quad 3^{10}\equiv49$

Продолжая вычисления, получаем $3^{20}\equiv1\pmod{100}$. Значит, показатель можно сократить по модулю 20.

$\displaystyle 2024=20\cdot101+4$

Тогда первая степень имеет тот же остаток, что и $3^4$.

$\displaystyle 3^{2024}\equiv3^4\equiv81\pmod{100}$

Для $7^{2024}$ аналогично используем период 20.

$\displaystyle 7^{20}\equiv1\pmod{100},\quad 2024\equiv4\pmod{20}$

Вычисляем остаток второй степени.

$\displaystyle 7^{2024}\equiv7^4=2401\equiv1\pmod{100}$

Складываем остатки и снова берём остаток по модулю 100.

$\displaystyle 3^{2024}+7^{2024}\equiv81+1=82\pmod{100}$

Ответ: две последние цифры — $82$. Важно, что период всегда зависит от модуля: цикл по модулю $10$ не обязан совпадать с циклом по модулю $100$.

Полезные способы сокращения вычислений

Если основание сравнимо с нулём по модулю $m$, достаточно понять, какая степень содержит нужный множитель.
Если $a\equiv-1\pmod m$, то $a^n\equiv(-1)^n\pmod m$: остаток равен $1$ для чётного $n$ и $-1$ для нечётного.
Числа, оканчивающиеся на $0$, $5$ или имеющие очевидные множители, удобно разбирать через разложение на множители.
При сложном выражении сокращайте каждый множитель отдельно, а затем выполняйте действия с маленькими остатками.
Для степеней можно использовать последовательное возведение в квадрат: находить остатки $a$, $a^2$, $a^4$, $a^8$ и выбирать нужные степени.

Сокращение показателя

Если найдено $a^T\equiv1\pmod m$, то показатель степени можно уменьшать по модулю $T$: $a^n\equiv a^{n\bmod T}\pmod m$. При нулевом остатке используют степень $T$, а не степень 0.

Модулярное представление в системах счисления

В позиционной системе с основанием $p$ число записывается как сумма разрядов, умноженных на степени $p$. Последний разряд определяется остатком по модулю $p$, два последних — по модулю $p^2$. Поэтому при задачах на запись числа в системе счисления полезны страницы цифровая запись числа, разрядная сетка и ограничения на цифры.

\[(a_ka_{k-1}\ldots a_1a_0)_p=\sum_{i=0}^{k}a_i p^i\]

Например, остаток числа $(abc)_p$ по модулю $p$ равен $c$, потому что все остальные слагаемые содержат множитель $p$. Остаток по модулю $p^2$ определяется двумя последними цифрами: $bp+c$.

Связь с другими задачами

Модулярная арифметика помогает проверять найденное число, определять последнюю цифру записи, искать минимальное или максимальное число в системе. Для полного решения задач полезно также повторить решение задач по системам счисления.

Частые ошибки

Что проверить перед ответом

Не путайте модуль и основание системы. Для двух последних десятичных цифр нужен модуль $100$, а не $10$. Не сокращайте показатель на предполагаемый период, пока не доказали повторение. При делении показателя на период учитывайте случай остатка 0. Если остаток меньше $10^k$, дописывайте ведущие нули. Нельзя без дополнительных условий «сокращать» множители в сравнении: из $ac\equiv bc\pmod m$ не всегда следует $a\equiv b\pmod m$.

Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · периодичность

Чему равна последняя цифра $2^{15}$?

Главное за минуту

Главное

Запись $a\equiv b\pmod m$ означает одинаковые остатки при делении на $m$.
Последние $k$ десятичных цифр находятся по остатку при делении на $10^k$.
Сравнения можно складывать, вычитать, умножать и возводить в степень.
Для больших степеней ищите период остатков и сокращайте показатель с учётом остатка 0.
В системах с основанием $p$ последние $k$ цифр определяются остатком по модулю $p^k$.