Остаток по модулю
Остаток по модулю — это остаток, который получают при делении числа на заданное натуральное число. В системах счисления он помогает определить свойства последних разрядов записи числа, не выполняя полное вычисление.
Числа, дающие один и тот же остаток при делении на \(m\), считаются сравнимыми по модулю \(m\). Например, \(17\bmod 5=2\), потому что \(17=5\cdot3+2\). Если число делится на модуль без остатка, результат равен нулю: \(20\bmod5=0\).
Найдём остаток от деления числа \(348\) на \(10\). Последний разряд десятичной записи равен \(8\), поэтому \(348\bmod10=8\). Для модуля \(100\) важны уже два последних разряда: \(348\bmod100=48\). Такой приём используется при нахождении остатка при переводе основания и анализе записи числа.
Модуль \(m\) и остаток — разные понятия. В записи \(a\bmod m\) число \(m\) задаёт делитель, а результатом является остаток. Например, в \(23\bmod7=2\) модуль равен \(7\), а остаток равен \(2\). Также не следует путать остаток по модулю с модулярным представлением числа: представление описывает класс чисел с одинаковым остатком.
Чему равен остаток \(572\bmod100\)?
Главное
- Остаток \(r\) при делении \(a\) на \(m\) удовлетворяет равенству \(a=m\cdot q+r\) и условию \(0\le r<m\).
- Запись \(a\bmod m\) обозначает остаток, а число \(m\) — модуль.
- Для модуля \(10\), \(100\) и других степеней основания часто достаточно рассмотреть последние разряды числа.