Тапсырмалар № 1, 14 · ЕГЭ

Признаки делимости в двоичной системе

Как определить делимость двоичного числа по его последним разрядам

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

В двоичной системе делимость числа на степени двойки определяется его последними разрядами: чтобы число делилось на \(2^k\), последние \(k\) двоичных цифр должны быть нулями.

Признак делимости в двоичной системеСлово «разряд» обозначает позицию цифры в записи числа. В двоичной системе каждая позиция соответствует степени двойки.

Правило, позволяющее определить делимость двоичного числа на \(2^k\) по его последним \(k\) разрядам: число делится на \(2^k\) тогда и только тогда, когда его последние \(k\) цифр равны нулю. Поэтому на \(2\) проверяют последнюю цифру, на \(4\) — последние две, на \(8\) — последние три и так далее.

Это следует из признака делимости на основание: в двоичной жазбалар все разряды левее последних \(k\) имеют множители, кратные \(2^k\). Оставшаяся часть числа — последние \(k\) цифр — определяет остаток при делении на \(2^k\).

\[N \text{ делится на } 2^k \iff \text{последние } k \text{ разрядов } N \text{ равны } 0.\]

Для делимости на \(2\) достаточно посмотреть на последний разряд: \(0\) означает чётное число, \(1\) — нечётное. Для делимости на \(4\) последние два разряда должны быть \(00\), а для делимости на \(8\) последние три — \(000\). Если число записано короче, чем \(k\) разрядов, слева мысленно добавляют нули.

№

Пример

Число \(1101000_2\) делится на \(8\), потому что его последние три разряда — \(000\). На \(16\) оно не делится: последние төрт разряда имеют вид \(1000\), а не \(0000\). Действительно, \(1101000_2=104_{10}\), а \(104\) делится на \(8\), но не делится на \(16\).

Не путайте

Последние нулевые разряды дают признак только для делителей, являющихся степенями двойки. Например, для проверки делимости на \(3\) немесе \(5\) нельзя смотреть только на последние двоичные цифры. В таких случаях используют остаток по модулю немесе модулярное представление числа.

Проверьте себя

Делится ли число \(10110100_2\) на \(4\)?

Главное за минуту

Главное

Число делится на \(2^k\) тогда и только тогда, когда последние \(k\) двоичных разрядов — нули.
На \(2\), \(4\) и \(8\) проверяют соответственно последний, последние два и последние три разряда.
Для делителей, не являющихся степенями двойки, применяют остаток по модулю, а не только анализ конца записи.