ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырма № 1 · ОГЭ

Признак делимости на основание

Как последняя цифра показывает остаток при делении на основание системы счисления
2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Признак делимости на основание: остаток числа при делении на основание позиционной системы счисления совпадает с его последней цифрой. Поэтому, чтобы найти этот остаток, достаточно посмотреть на цифру в младшем разряде.

Признак делимости на основание
В позиционной системе счисления с основанием \(b\) остаток числа при делении на \(b\) равен цифре \(a_0\) в его младшем разряде. Если жазба числа имеет вид \(a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0\), то именно \(a_0\) определяет остаток при делении на основание.

Это свойство следует из разложения числа по разрядам числа. Запись \(a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0\) означает сумму произведений цифр на степени основания. Все слагаемые, кроме последнего, содержат множитель \(b\), поэтому делятся на \(b\) без остатка. Последняя цифра \(a_0\) может быть меньше основания \(b\), поэтому она и является остатком.

\[N = a_n b^n + a_{n-1}b^{n-1} + \cdots + a_1b + a_0, \qquad N \bmod b = a_0\]
№
Пример

В восьмеричной системе число \(347_8\) при делении на \(8\) даёт остаток \(7\), потому что его последняя цифра — \(7\). Действительно, \(347_8 = 3\cdot8^2 + 4\cdot8 + 7\), а первые два слагаемых делятся на \(8\).

!
Не путайте

Последняя цифра определяет остаток при делении на основание, но не всегда показывает остаток при делении на произвольное число. Например, в десятичной записи последняя цифра помогает найти остаток при делении на \(10\), но для деления на \(3\) нужно учитывать сумму цифр.

Проверьте себя

Каков остаток от деления числа \(1254_6\) на \(6\)?

Главное за минуту

Главное

  • В системе с основанием \(b\) остаток при делении на \(b\) равен последней цифре жазбалар.
  • Свойство основано на разложении числа по разрядам: все старшие разряды дают слагаемые, кратные основанию.
  • Последняя цифра не определяет остаток при делении на любое другое число.