Тапсырмалар № 1, 14 · ЕГЭ

Признак чётности в системе счисления

Как определить чётность числа по его последней цифре

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

В системе счисления с чётным основанием число чётно тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна. Поэтому для проверки достаточно посмотреть на цифру разряда единиц, не переводя всё число в десятичную систему.

Правило: если основание системы счисления \(b\) чётно, то жазба числа \(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0\) задаёт чётное число тогда и только тогда, когда последняя цифра \(a_0\) чётна. Иными словами, чётность числа совпадает с чётностью его остатка при делении на \(2\).

Почему это работает

Разложим число по разрядам: \(N=a_0+a_1b+a_2b^2+\ldots+a_nb^n\). При чётном основании \(b\) все слагаемые, кроме \(a_0\), чётны, потому что содержат множитель \(b\). Значит, на чётность \(N\) влияет только последняя цифра \(a_0\). Это частный случай общего признака делимости на основание, а для понимания остатка полезно сначала повторить остаток по модулю.

\[N\equiv a_0\pmod{2}\quad\text{при чётном }b\]

№

Пример

В восьмеричной системе число \(352_8\) чётно, потому что его последняя цифра \(2\) чётная. Число \(417_8\) нечётно, потому что последняя цифра \(7\) нечётная. Переводить жазбалар в десятичную систему не требуется.

Не путайте с нечётным основанием

Правило работает только при чётном основании: \(2,4,6,8,10\) и так далее. Например, в троичной системе последняя цифра сама по себе не определяет чётность: \(10_3=3\) — нечётное число, хотя последняя цифра равна \(0\). Для основания \(b\) проверка последней цифры напрямую связана с признаком кратности основанию, но чётность — это делимость именно на \(2\).

Проверьте себя

Какие из Жазбалар обозначают чётные числа? Основание каждой системы чётное.

Главное за минуту

Главное

При чётном основании чётность числа определяется последней цифрой.
Последняя цифра чётная — число чётное; последняя цифра нечётная — число нечётное.
При нечётном основании это правило применять нельзя.