Признак кратности основанию
Признак кратности основанию позволяет определить, делится ли число в позиционной системе счисления на её основание, не выполняя деление. Для этого достаточно посмотреть на младшую цифру числа.
Здесь \(a_0\) — младшая цифра, а \(Q\) — число, образованное остальными цифрами. Поэтому остаток при делении \(N\) на основание \(b\) равен \(a_0\). Если \(a_0=0\), то \(N\) кратно \(b\); если \(a_0\ne0\), деление выполняется с ненулевым остатком \(a_0\).
В любой позиционной системе счисления число делится на её основание тогда и только тогда, когда оканчивается цифрой \(0\).
Число \((10110)_2\) оканчивается цифрой \(0\), значит, оно делится на \(2\) без остатка. Число \((10111)_2\) оканчивается цифрой \(1\), поэтому при делении на \(2\) остаток равен \(1\).
Признак относится именно к делимости на основание системы. Например, в десятичной системе последняя цифра \(0\) показывает делимость на \(10\), но не всегда на \(2\) или \(5\)? Наоборот, последняя цифра \(4\) показывает делимость на \(2\), однако это уже другой признак. В двоичной системе признак делимости на \(2\) совпадает с признаком кратности основанию, а в системе с основанием \(b\) речь идёт о делимости на \(b\).
Делится ли число \((230)_4\) на основание системы счисления?
Главное
- В системе с основанием \(b\) остаток от деления числа на \(b\) равен его младшей цифре.
- Число делится на основание без остатка тогда и только тогда, когда оканчивается цифрой \(0\).
- Признак не следует смешивать с признаками делимости на другие числа.