Перевод между двоичной и восьмеричной системами
Двоичное число можно переводить в восьмеричную систему без вычислений в десятичной: достаточно разбить его запись на группы по три цифры и заменить каждую группу соответствующей восьмеричной цифрой. Обратный перевод выполняется так же просто — каждая восьмеричная цифра превращается в три двоичных разряда.
Почему работают группы по три
В восьмеричной системе основание равно \(8\), а \(8=2^3\). Поэтому один разряд восьмеричного числа содержит столько же информации, сколько три двоичных разряда. Это позволяет сопоставить каждой группе из трёх двоичных цифр одну цифру от \(0\) до \(7\).
Основание показывает, сколько разных цифр используется в системе и во сколько раз изменяется вес соседних разрядов. В двоичной системе основание равно \(2\), в восьмеричной — \(8=2^3\).
Для перевода целой двоичной части в восьмеричную нужно разбить двоичную запись справа налево на группы по три цифры. Если в крайней левой группе не хватает цифр, слева дописывают нули. Каждую группу заменяют одной восьмеричной цифрой.
Внутри одной триады веса равны \(2^2\), \(2^1\) и \(2^0\), то есть \(4\), \(2\) и \(1\). Поэтому значение триады \(abc\) вычисляется как \(4a+2b+c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — двоичные цифры.
Такую группу из трёх двоичных разрядов называют триадой. Подробное правило разбиения записи приведено на странице группировка двоичных цифр, а готовые соответствия можно сверять с таблицей соответствий систем счисления.
Перевод из двоичной системы в восьмеричную
Алгоритм применяется к целой и дробной частям немного по-разному. Целую часть группируют справа налево, начиная от точки или от последнего разряда. Дробную часть группируют слева направо, начиная сразу после точки. Нули добавляют только на внешних концах групп: слева у целой части или справа у дробной.
- Запишите двоичное число и отделите целую часть от дробной, если дробь есть.
- Разбейте целую часть справа налево на триады.
- Разбейте дробную часть слева направо на триады.
- При необходимости дополните крайние группы нулями.
- Замените каждую триаду цифрой от \(0\) до \(7\).
- Поставьте восьмеричную точку на том же месте между целой и дробной частями.
| Триада | Значение | Восьмеричная цифра |
|---|---|---|
| 000 | 0 | 0 |
| 001 | 1 | 1 |
| 010 | 2 | 2 |
| 011 | 3 | 3 |
| 100 | 4 | 4 |
| 101 | 5 | 5 |
| 110 | 6 | 6 |
| 111 | 7 | 7 |
Переведём \((1101010111)_2\) в восьмеричную систему. Группируем цифры справа налево: \(1\ 101\ 010\ 111\). В первой группе только одна цифра, поэтому дополняем её слева двумя нулями: \(001\ 101\ 010\ 111\). Теперь заменяем триады: \(001\to1\), \(101\to5\), \(010\to2\), \(111\to7\). Получаем \((1527)_8\).
Какой результат получится при переводе \((10111001)_2\) в восьмеричную систему?
Перевод из восьмеричной системы в двоичную
Обратный перевод ещё короче: каждую восьмеричную цифру заменяют её трёхразрядной двоичной записью. Здесь нули внутри группы и слева от цифры обязательны, потому что одна восьмеричная цифра соответствует ровно трём позициям.
- Запишите восьмеричное число.
- Замените каждую цифру отдельной триадой по таблице.
- Соедините триады без пробелов.
- В начале целой части можно удалить незначащие нули, но внутри записи удалять цифры нельзя.
Переведём \((346,52)_8\) в двоичную систему. Цифры заменяем независимо: \(3\to011\), \(4\to100\), \(6\to110\), \(5\to101\), \(2\to010\). Поэтому \((346,52)_8=(011100110,101010)_2\). Начальный ноль целой части можно убрать: \((11100110,101010)_2\).
Для дробной части действует то же соответствие. Например, цифра \(5\) после восьмеричной точки превращается в триаду \(101\). Нельзя переводить дробь по правилам перевода дробей умножением: этот способ нужен для других случаев, когда группировка по степеням двойки невозможна.
Двоичная дробь и положение точки
В числе \((101,0111)_2\) целую часть группируем вправо: \(101\). Дробную часть группируем влево: \(011\ 1\), затем дополняем последнюю группу справа нулями: \(011\ 100\). Получаем \((101,34)_8\). Добавление нулей справа после точки не изменяет значение числа.
Слева от целой части можно дописывать нули, а справа от дробной части — дописывать нули. Нельзя дописывать нули между существующими цифрами: это изменит число.
Проверка результата и типичные ошибки
Самый надёжный способ проверки — выполнить обратную замену каждой восьмеричной цифры на триаду. Например, результат \(527_8\) должен раскрываться как \(101\ 010\ 111_2\). Можно также сравнить количество разрядов: одна восьмеричная цифра обычно соответствует трём двоичным.
1. Группировка слева направо для целой части вместо справа налево. 2. Группировка справа налево для дробной части вместо слева направо. 3. Пропуск начальных нулей триады: цифра \(3\) — это \(011\), а не только \(11\). 4. Использование четырёх цифр в группе — это тетрада, нужная для перевода в шестнадцатеричную систему. 5. Попытка записать в восьмеричной системе цифру \(8\) или \(9\): допустимы только \(0,1,2,3,4,5,6,7\).
Не считайте двоичное число в десятичной системе, если требуется только перевод между двоичной и восьмеричной. Сразу поставьте разделители через три цифры, подпишите под группами значения \(0\)–\(7\) и перепишите результат. Если требуется другой маршрут, например через десятичную систему, используйте страницу перевод из десятичной системы или перевод в десятичную систему.
Для арифметики после перевода пригодятся правила сложения в системах счисления и вычитания в системах счисления. Но сам перевод группами не требует деления с остатком и последовательности остатков.
Quick-test
Проверьте понимание
Главное
- Восьмеричная система связана с двоичной равенством \(8=2^3\), поэтому используются группы по три разряда.
- Целую двоичную часть группируют справа налево, дробную — слева направо.
- Недостающие цифры добавляют только на внешних концах: слева у целой части и справа у дробной.
- При обратном переводе каждая восьмеричная цифра заменяется ровно одной триадой.
- Триада \(abc\) имеет значение \(4a+2b+c\); допустимые восьмеричные цифры — от \(0\) до \(7\).