Задание № 1 · ОГЭ

Последовательность остатков

Как устроена последовательность остатков при переводе целого числа в другую систему счисления

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Последовательность остатков — это ряд цифр, полученных при последовательном делении целого числа на основание новой системы счисления. Чтобы получить правильную запись числа, эти остатки читают снизу вверх — от последнего деления к первому.

Последовательность остатковНазвание связано с тем, что каждый следующий элемент последовательности является остатком очередного деления.

Последовательность остатков — упорядоченный набор остатков, полученных при делении исходного целого числа и последующих частных на основание \(p\), где \(p\) — основание новой системы счисления. Остатки записывают в порядке получения, но цифры результата образуют при чтении снизу вверх.

При каждом делении используется деление с остатком. Остаток всегда меньше основания: \(0 \le r < p\). Частное снова делят на \(p\), пока частное не станет равно нулю. Последний ненулевой остаток становится первой, то есть самой старшей, цифрой результата.

\[N = q_0p+r_0,\quad q_0=q_1p+r_1,\quad q_1=q_2p+r_2,\quad \ldots,\quad q_{k-1}=0\cdot p+r_k\]1

Здесь \(N\) — исходное число, \(p\) — основание системы, \(q_i\) — частные, а \(r_i\) — остатки. В порядке вычисления получается \(r_0,r_1,\ldots,r_k\), но запись числа имеет вид \(r_kr_{k-1}\ldots r_1r_0\). Подробный приём чтения остатков снизу вверх является частью перевода из десятичной системы.

№

Пример: перевод 25 в двоичную систему

Делим число на \(2\) и записываем остатки: \(25:2=12\) и остаток \(1\); \(12:2=6\) и остаток \(0\); \(6:2=3\) и остаток \(0\); \(3:2=1\) и остаток \(1\); \(1:2=0\) и остаток \(1\). Последовательность получения: \(1,0,0,1,1\). Читаем её снизу вверх: \(11001_2\). Значит, \(25_{10}=11001_2\).

Не перепутайте порядок

Если прочитать остатки сверху вниз, получится обратная последовательность и, как правило, другое число. Снизу вверх читают именно остатки, полученные при делении на основание системы, а не частные.

Проверьте себя

В каком порядке нужно читать остатки при переводе целого числа из десятичной системы в двоичную?

Главное за минуту

Главное

Последовательность остатков возникает при последовательном делении числа и частных на основание новой системы.
Остатки получают в порядке от младшей цифры к старшей, поэтому результат читают снизу вверх.
Каждый остаток должен удовлетворять условию \(0 \le r < p\).