Задание № 1 · ОГЭ

Вычитание в системах счисления

Как выполнять вычитание столбиком в любой системе счисления

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Вычитание в системе счисления — это поразрядное нахождение разности двух чисел, записанных столбиком. Если цифра уменьшаемого меньше соответствующей цифры вычитаемого, выполняют заимствование из соседнего разряда.

Вычитание в системе счисления

Арифметическая операция, при которой из уменьшаемого вычитают вычитаемое, начиная с младшего разряда и переходя к старшим. При нехватке единиц текущего разряда занимают одну единицу соседнего старшего разряда: она превращается в \(p\) единиц текущего разряда, где \(p\) — основание системы счисления.

Числа записывают так, чтобы цифры одинаковых разрядов находились друг под другом. Затем вычитают цифры справа налево. Если заимствование невозможно из соседнего разряда, потому что там стоит ноль, его выполняют из ближайшего слева ненулевого разряда, а нули между ними получают по одной единице основания.

Правило заимствования

\[a_i < b_i \quad\Rightarrow\quad a_i + p - b_i,\qquad a_{i+1} \leftarrow a_{i+1}-1\]

Здесь \(a_i\) и \(b_i\) — цифры уменьшаемого и вычитаемого в одном разряде, а \(p\) — основание системы. После заимствования из старшего разряда текущая цифра увеличивается на \(p\), а цифра старшего разряда уменьшается на 1. Результат каждой позиции должен быть цифрой от \(0\) до \(p-1\).

№

Пример в двоичной системе

Вычтем \(10110_2-00111_2\). Справа налево: \(0-1\) требует заимствования; после последовательного заимствования получаем в этом разряде \(10_2-1_2=1_2\). Далее выполняем те же действия по разрядам и получаем \(01111_2\). Проверка: \(10110_2=22_{10}\), \(00111_2=7_{10}\), а \(22-7=15=01111_2\).

Не путайте

Заимствование изменяет запись числа в двух соседних разрядах: старший уменьшается на единицу, текущий увеличивается на основание. Это не перенос через разряд, который возникает при сложении и увеличивает следующий разряд.

Проверь себя

Что произойдёт с цифрой текущего разряда в восьмеричной системе, если из соседнего разряда заняли одну единицу?

Главное за минуту

Главное

Вычитание выполняют справа налево, по одинаковым разрядам.
Если цифры не хватает, занимают 1 единицу старшего разряда; в текущем разряде это даёт \(p\) единиц.
Основание системы определяет величину заимствования: в двоичной системе — 2, в восьмеричной — 8, в шестнадцатеричной — 16.