Деление в системах счисления
Деление в системе счисления с основанием \(b\) выполняют почти так же, как в десятичной: поразрядно, столбиком, но все вычисления проводят в выбранной системе. Главное — помнить, что значение каждой цифры зависит от основания.
Сначала сравнивают делитель с начальной частью делимого, содержащей столько разрядов, сколько делитель. Если эта часть меньше делителя, берут ещё один разряд. Затем подбирают очередную цифру частного, умножают делитель на неё и выполняют вычитание из текущей части. К полученному остатку приписывают следующий разряд делимого — это действие связано со переходом через разряд.
Здесь \(a\) — делимое, \(b\) — делитель, \(q\) — частное, а \(r\) — остаток. Для правильного результата остаток должен быть меньше делителя. Если очередная текущая часть меньше делителя, в частное записывают \(0\), но только после появления первой ненулевой цифры частного: этот ноль сохраняет разряд.
Разделим \(3241_5\) на \(13_5\). Часть \(32_5\) делится на \(13_5\) два раза: \(32_5-31_5=1_5\). Приписываем \(4\): получаем \(14_5\), берём \(1\), остаток \(1_5\). Приписываем \(1\): получаем \(11_5\), это меньше делителя, поэтому в частном ставим \(0\), а остаток оставляем \(11_5\). Ответ: \(3241_5:13_5=210_5\), остаток \(11_5\). Проверка: \(13_5\cdot210_5+11_5=3241_5\).
Нельзя выполнять промежуточное умножение или вычитание в десятичной системе, не переводя обратно результат. Например, в двоичной системе допустимы только цифры \(0\) и \(1\), а в шестнадцатеричной после \(9\) используются цифры \(A\)–\(F\).
Какое условие обязательно для остатка при делении в системе с основанием \(b\)?
Главное
- Деление столбиком выполняют поразрядно, используя арифметику выбранной системы.
- На каждом шаге подбирают цифру частного, вычитают произведение и приписывают следующий разряд.
- Остаток должен удовлетворять условию \(0\le r<b\); нулевые цифры частного сохраняют разряд.